Exercice (oral Centrale/Supélec)
Dans cet exercice, on va résoudre {(E) :\dbinom{n}{k}=\dbinom{n+1}{k-1}\;\text{où}\;1\le k\le n}
| Question 1.a Montrer que {(E)} se ramène à : {(E'):\begin{cases}(p+k)k=p(p+1)\\[3pt] p\in\mathbb{N}^{*},\;k\in\mathbb{N}^{*}\end{cases}} |
| Question 1.b Dans {(E')}, on pose {\begin{cases}p=rd\\k=sd\end{cases}} où {d=p\wedge k}. Montrer que {(E')} implique {d\mid r} puis {d=r}. En déduire que les solutions de {(E')} sont les couples {(p=d^{2},k=sd)} où les couples {(d,s)} sont les solutions dans {\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}} de {(E'') :(d\!+\!s)s=d^{2}\!+\!1}. |
| Question 2 On définit la suite de Fibonacci {(F_{n})_{n\ge1}} par : {\begin{cases}F_{1}=F_{2}=1\\\forall\,n\ge1,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\end{cases}}Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;F_{n+1}^{2}-F_{n+2}F_{n}=(-1)^{n}} |
| Question 3.A Montrer que {(d=F_{2n},s=F_{2n-1})} vérifie {(E'')}. En particulier, avec {n=1}, on retrouve la solution évidente {(d,s)=(1,1)}. |
| Question 3.b Réciproquement, soit {(d,s)\ne (1,1)} vérifiant {(E'')}. On pose {\begin{pmatrix}d'\cr s'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\cr -1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\cr s\end{pmatrix}}. Montrer que {(d',s')} vérifie {(E'')} avec {\begin{cases}1\!\le\! d'\lt d\cr 1\!\le\! s'\lt s\end{cases}} |
| Question 3.c En déduire que toute solution {(d,s)} de {(E'')} vérifie : {\exists\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\begin{pmatrix}d\cr s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\cr 1&1\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}} |
| Question 3.d Décrire les solutions de {(E'')} dans {\mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}}. |
| Question 4 Décrire finalement l’ensemble des solutions {(k,n)} du problème {(E)} initial |