Égalités de coefficients binomiaux

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Dans cet exercice, on va résoudre {(E) :\dbinom{n}{k}=\dbinom{n+1}{k-1}\;\text{où}\;1\le k\le n}

Question 1.a
Montrer que {(E)} se ramène à : {(E'):\begin{cases}(p+k)k=p(p+1)\\[3pt] p\in\mathbb{N}^{*},\;k\in\mathbb{N}^{*}\end{cases}}
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Question 1.b
Dans {(E')}, on pose {\begin{cases}p=rd\\k=sd\end{cases}}{d=p\wedge k}.
Montrer que {(E')} implique {d\mid r} puis {d=r}.
En déduire que les solutions de {(E')} sont les couples {(p=d^{2},k=sd)} où les couples {(d,s)} sont les solutions dans {\mathbb{N}^{*}\times\mathbb{N}^{*}} de {(E'') :(d\!+\!s)s=d^{2}\!+\!1}.
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Question 2
On définit la suite de Fibonacci {(F_{n})_{n\ge1}} par : {\begin{cases}F_{1}=F_{2}=1\\\forall\,n\ge1,\;F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\end{cases}}Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;F_{n+1}^{2}-F_{n+2}F_{n}=(-1)^{n}}
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Question 3.A
Montrer que {(d=F_{2n},s=F_{2n-1})} vérifie {(E'')}.
En particulier, avec {n=1}, on retrouve la solution évidente {(d,s)=(1,1)}.
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Question 3.b
Réciproquement, soit {(d,s)\ne (1,1)} vérifiant {(E'')}.
On pose {\begin{pmatrix}d'\cr s'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\cr -1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\cr s\end{pmatrix}}.
Montrer que {(d',s')} vérifie {(E'')} avec {\begin{cases}1\!\le\! d'\lt d\cr 1\!\le\! s'\lt s\end{cases}}
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Question 3.c
En déduire que toute solution {(d,s)} de {(E'')} vérifie : {\exists\, n\in\mathbb{N}^{*},\;\begin{pmatrix}d\cr s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\cr 1&1\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\cr 1\end{pmatrix}}
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Question 3.d
Décrire les solutions de {(E'')} dans {\mathbb{N}^{*}\times \mathbb{N}^{*}}.
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Question 4
Décrire finalement l’ensemble des solutions {(k,n)} du problème {(E)} initial
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