Zéros d’un polynôme de Maclaurin

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour {n} dans {\mathbb{N}}, on pose :{\begin{array}{rl}P_{n}(x)&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\\\f_{n}(x)&=\dfrac{1}{(2n+1)!}\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)^{2n+1}\,\sin(t)\,\,\text{d}t\end{array}}

L’objectif est de localiser les premières racines réelles strictement positives de {P_{n}}.

Question 1.a
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, justifier l’identité :{P_{n}(x)=\sin(x)+(-1)^{n}f_{n}(x)}
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Question 1.b
Pour tout {n \ge 1}, comparer {f_{n}''} à {f_{n-1}}.
En déduire que {f_{n}} est une bijection strictement croissante et convexe de {\mathbb{R}^{+}} sur lui-même.
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Question 1.c
On note {B_{n}\ge0} défini par {f_{n}(B_{n})=1}.

Montrer que toutes les racines réelles positives de {P_{n}} sont dans le segment {[0,B_{n}]}.

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Soit {n\ge1} un entier fixé. Soit {q_{n}=\bigg\lfloor\dfrac{B_{n}}{2\pi}\bigg\rfloor}.

On a donc {2q_{n}\pi\le B_{n}\lt 2(q_{n}+1)\pi}, ou encore :{f_{n}(2q_{n}\pi)\le 1\lt f_{n}(2(q_{n}+1)\pi)}On se donne {m\in\mathbb{N}} tel que {m\lt q_{n}}.

On pose {a_{k}=2m\pi+\dfrac{k\pi}{2}}, avec {0\le k\le 4}.

En particulier : {a_{4}=2(m+1)\pi\le 2q_{n}\pi\le B_{n}}.

Question 2
Montrer que {P_{n}} a exactement deux racines sur l’intervalle {]a_{0},a_{4}]} (de longueur {2\pi}).
On traitera le cas {n} pair, puis le cas {n} impair.
On se placera sur chaque intervalle {[a_{k},a_{k+1}]}, avec {0\le k\le 3}, et on considèrera le signe et/ou la monotonie et/ou la convexité de {P_{n}}.
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