Polynômes affinement équivalents

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Dans cet exercice, les variables sont à valeurs réelles.

Pour tout polynôme {P} de {\mathbb{R}[X]}, on note :{\Gamma_{P}=\{(x,P(x)),\;x\in\mathbb{R}\}}{\Gamma_{P}} est donc la « représentation graphique » de {P}, le plan {\mathbb{R}^{2}} étant rapporté à son repère canonique.

Par définition, un isomorphisme affine du plan est une application {A(x,y)\to A'(x',y')} définie par : {\begin{pmatrix}x'\cr y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\cr y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\alpha\cr \beta\end{pmatrix}\;\text{avec}\;ad\ne bc}Soient {P,Q} deux polynômes.

On dit que {P} est affinement équivalent à {Q}, et on note {P\equiv Q}, s’il existe un isomorphisme affine {\varphi} de {\mathbb{R}^{2}} tel que {\varphi(\Gamma_{P})=\Gamma_{Q}}.

C’est clairement une relation d’équivalence sur {\mathbb{R}[X]}.

Question 1
Soient {P,Q\in\mathbb{R}[X]} avec {\deg P\ge 2} et {\deg Q\ge 2}.
Soit {\varphi} l’isomorphisme affine du préambule.
Montrer que l’inclusion {\varphi(\Gamma_{P})\subset\Gamma_{Q}} équivaut à :{b=0\;\text{et}\;Q(aX+\alpha)=dP(X)+cX+\beta}Montrer qu’alors : {\begin{cases}\varphi(\Gamma_{P})=\Gamma_{Q}\\[3pt]\deg(P)=\deg(Q)\end{cases}}
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On admet que chacun des ensembles suivants est une classe d’équivalence pour {\equiv} :

  • l’ensemble {\mathbb{R}_{1}[X]} (polynômes de degré {\le 1});
  • l’ensemble des polynômes de degré {2};
  • l’ensemble des polynômes de degré {3}.

L’objectif de l’exercice est de montrer que l’ensemble des polynômes de degré {4} est la réunion de trois classes d’équivalence pour la relation {\equiv}.

Question 2.
Soit {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{n-k}}, avec {n\ge4} et {\lambda_{0}\ne0}.
Soit {B(X)=\dfrac{1}{\lambda_{0}}\Biggl(A\Bigl(X-\dfrac{\lambda_{1}}{n\lambda_{0}}\Bigr)-A\Bigl(-\dfrac{\lambda_{1}}{n\lambda_{0}}\Bigr)\Biggr)}.
Montrer que {B} s’écrit {B(X)=X^{n}+\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\mu_{k}X^{n-k}}.
Montrer que {B\equiv A}.
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On se donne les polynômes (avec {n\ge4}) : {P=X^{n}\!+\!\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\mu_{k}X^{n-k}\;\text{et}\;Q=X^{n}\!+\!\displaystyle\sum_{k=2}^{n-1}\lambda_{k}X^{n-k}}D’après (2), dire que {P\equiv Q} c’est dire qu’il existe {a,\alpha,c,d,\beta} (avec {ad\ne0}) tels que {(E) :\ Q(aX+\alpha)=dP(X)+cX+\beta}

Question 3.a
Montrer que la condition {(E)} précédente n’est possible que si ({d=a^{n}} et {\alpha=\beta=0}).
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Question 3.b
Montrer alors que {P\equiv Q} si et seulement si il existe {a\in\mathbb{R}^{*}} tel que :{\Leftrightarrow \exists\, ,\;\forall\, k\in\{2,\ldots,n-2\},\;\lambda_{k}=\mu_{k}a^{k}}
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Question 3.c
Déterminer l’ensemble des polynômes de degré {4} est la réunion de trois classes d’équivalence, dont on donnera un représentant simple.
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