Une autre intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Pour {x>1}, on pose : {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} e^{-x t} \dfrac{\,\text{sh} t}{t} \mathrm{d} t}.
Vérifier que {F} est définie.
Préciser {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}F(x)}. Calculer {F(x)}.
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