Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.
Soit {{\mathcal G}} une partie (non réduite à {\{0\}}) de {{\mathcal L}(E)}.
On suppose que {{\mathcal G}} est un groupe pour la composition des endomorphismes.
| Question 1.a Soit {j} le neutre de {{\mathcal G}}. Que dire de l’endomorphisme {j} de {E}? |
| Question 1.b Montrer que tous les éléments du groupe {{\mathcal G}} ont le même rang {r\ge1}. Plus précisément, montrer qu’il existe une base de {E} dans laquelle tout élément {u} de {{\mathcal G}} a une matrice par blocs de la forme {\begin{pmatrix}M&0\\0&0 \end{pmatrix}}, où {M} est carrée inversible d’ordre {r}. |
Dans cette question, on suppose {n\ge2} et {\mathbb{K}=\mathbb{R}}.
Soit {{\mathcal B}=(e_1,\cdots,e_n)} une base de {E}.
Soit {S_n} le groupe des permutations de {\{1,2,\cdots,n\}}.
Pour {\sigma\in S_n}, soit {u_{\sigma}\in\mathcal{L}(E)} défini par : {\forall\, i \in \llbracket 1,n\rrbracket, \; u_{\sigma}(e_i)=e_{\sigma(i)}}
| Question 2.a On note {{\mathcal G}=\{ u_{\sigma}, \sigma \in S_n \}}. Montrer que {({\mathcal G},\circ)} est un groupe. |
| Question 2.b On dit qu’un sous-espace {F} de {E} est stable par {{\mathcal G}} si : {\forall\, u \in {\mathcal G}, \; u(F) \subset F}. Déterminer les droites stables par {{\mathcal G}} (distinguer selon que {n=2} ou {n\ge3}). |
| Question 2.c On munit {E} de la base {{\mathcal B}}. Soit {H} l’hyperplan d’équation {x_1+\cdots+x_n=0}. Montrer que les seuls sous-espaces de {H} stables par {{\mathcal G}} sont {H} ou {\{0\}}. |