Groupes d’endomorphismes de même rang

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.

Soit {{\mathcal G}} une partie (non réduite à {\{0\}}) de {{\mathcal L}(E)}.

On suppose que {{\mathcal G}} est un groupe pour la composition des endomorphismes.

Question 1.a
Soit {j} le neutre de {{\mathcal G}}.
Que dire de l’endomorphisme {j} de {E}?
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 1.b
Montrer que tous les éléments du groupe {{\mathcal G}} ont le même rang {r\ge1}.
Plus précisément, montrer qu’il existe une base de {E} dans laquelle tout élément {u} de {{\mathcal G}} a une matrice par blocs de la forme {\begin{pmatrix}M&0\\0&0 \end{pmatrix}}, où {M} est carrée inversible d’ordre {r}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).


Dans cette question, on suppose {n\ge2} et {\mathbb{K}=\mathbb{R}}.

Soit {{\mathcal B}=(e_1,\cdots,e_n)} une base de {E}.

Soit {S_n} le groupe des permutations de {\{1,2,\cdots,n\}}.

Pour {\sigma\in S_n}, soit {u_{\sigma}\in\mathcal{L}(E)} défini par : {\forall\, i \in \llbracket 1,n\rrbracket, \; u_{\sigma}(e_i)=e_{\sigma(i)}}

Question 2.a
On note {{\mathcal G}=\{ u_{\sigma}, \sigma \in S_n \}}.
Montrer que {({\mathcal G},\circ)} est un groupe.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2.b
On dit qu’un sous-espace {{\mathcal B}}{F} de {E} est stable par {{\mathcal G}} si : {\forall\, u \in {\mathcal G}, \; u(F) \subset F}.
Déterminer les droites stables par {{\mathcal G}} (distinguer selon que {n=2} ou {n\ge3}).
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).
Question 2.c
On munit {E} de la base {{\mathcal B}}.
Soit {H} l’hyperplan d’équation {x_1+\cdots+x_n=0}.
Montrer que les seuls sous-espaces de {H} stables par {{\mathcal G}} sont {H} ou {\{0\}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).