Groupes d’endomorphismes de même rang

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n\ge1}.

Soit {{\mathcal G}} une partie (non réduite à {\{0\}}) de {{\mathcal L}(E)}.

On suppose que {{\mathcal G}} est un groupe pour la composition des endomorphismes.

Question 1.a
Soit {j} le neutre de {{\mathcal G}}.
Que dire de l’endomorphisme {j} de {E}?
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Question 1.b
Montrer que tous les éléments du groupe {{\mathcal G}} ont le même rang {r\ge1}.
Plus précisément, montrer qu’il existe une base de {E} dans laquelle tout élément {u} de {{\mathcal G}} a une matrice par blocs de la forme {\begin{pmatrix}M&0\\0&0 \end{pmatrix}}, où {M} est carrée inversible d’ordre {r}.
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Dans cette question, on suppose {n\ge2} et {\mathbb{K}=\mathbb{R}}.

Soit {{\mathcal B}=(e_1,\cdots,e_n)} une base de {E}.

Soit {S_n} le groupe des permutations de {\{1,2,\cdots,n\}}.

Pour {\sigma\in S_n}, soit {u_{\sigma}\in\mathcal{L}(E)} défini par : {\forall\, i \in \llbracket 1,n\rrbracket, \; u_{\sigma}(e_i)=e_{\sigma(i)}}

Question 2.a
On note {{\mathcal G}=\{ u_{\sigma}, \sigma \in S_n \}}.
Montrer que {({\mathcal G},\circ)} est un groupe.
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Question 2.b
On dit qu’un sous-espace {{\mathcal B}}{F} de {E} est stable par {{\mathcal G}} si : {\forall\, u \in {\mathcal G}, \; u(F) \subset F}.
Déterminer les droites stables par {{\mathcal G}} (distinguer selon que {n=2} ou {n\ge3}).
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Question 2.c
On munit {E} de la base {{\mathcal B}}.
Soit {H} l’hyperplan d’équation {x_1+\cdots+x_n=0}.
Montrer que les seuls sous-espaces de {H} stables par {{\mathcal G}} sont {H} ou {\{0\}}.
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