Facteurs premiers des an-1

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On considère des entiers {a^{n}-1}, où {\begin{cases}a\ge2\\n\ge2\end{cases}}

Dans le cas particulier {a=2}, les entiers {M_{n}=2^{n}-1} sont appelés nombres de Mersenne.

On va montrer l’équivalence des deux propositions suivantes (où {a\ge2} et {n\ge2}) :

  • {a-1} et {a^{n}-1} ont les mêmes facteurs premiers
  • {n=2}, et {a} est un nombre de Mersenne

Question 1
On suppose que {a} (avec {a\ge2}) est lui-même un nombre de Mersenne. Montrer que {a-1} et {a^{2}-1} ont les mêmes facteurs premiers.
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Réciproquement, on se donne {a\ge2} et {n\ge2}.

On suppose que {a-1} et {a^{n}-1} ont les mêmes facteurs premiers.

On veut donc montrer que {n=2} et que {a} est un nombre de Mersenne.

On suppose tout d’abord (uniquement dans (2)) que {n} est un nombre premier.

Question 2.a
Soit {q} l’entier défini par {a^{n}-1=(a-1)q}.
Montrer que : {q=n+\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\dbinom{n}{k}(a-1)^{k-1}}.
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Question 2.b
En déduire l’égalité : {q\wedge (a-1)=n}.
Montrer qu’il existe {r\ge2} tel que {q=n^{r}}.
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Question 2.c
Par l’absurde, on suppose que {n} est premier impair.
Utiliser (2.a) pour montrer que {q\equiv n\ [n^{2}]}.
En déduire une contradiction (ainsi {n=2}).
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Question 2.d
Montrer que {a} est un nombre de Mersenne.
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On garde l’hypothèse de la question (2), mais on suppose par l’absurde que {n} n’est pas premier. Soit {p} un diviseur premier de {n}.

Question 3.a
Montrer que {a-1} et {a^{p}-1} ont les mêmes facteurs premiers. En déduire que {a} est un nombre de Mersenne et que {n} est une puissance de {2}.
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Question 3.b
On pose {b=a^{2}}. Montrer que {b-1} et {b^{2}-1} ont les mêmes facteurs premiers.
Aboutir à une contradiction.
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