Exercice (oral Centrale/Supélec)
On considère des entiers {a^{n}-1}, où {\begin{cases}a\ge2\\n\ge2\end{cases}}
Dans le cas particulier {a=2}, les entiers {M_{n}=2^{n}-1} sont appelés nombres de Mersenne.
On va montrer l’équivalence des deux propositions suivantes (où {a\ge2} et {n\ge2}) :
- {a-1} et {a^{n}-1} ont les mêmes facteurs premiers
- {n=2}, et {a} est un nombre de Mersenne
| Question 1 On suppose que {a} (avec {a\ge2}) est lui-même un nombre de Mersenne. Montrer que {a-1} et {a^{2}-1} ont les mêmes facteurs premiers. |
Réciproquement, on se donne {a\ge2} et {n\ge2}.
On suppose que {a-1} et {a^{n}-1} ont les mêmes facteurs premiers.
On veut donc montrer que {n=2} et que {a} est un nombre de Mersenne.
On suppose tout d’abord (uniquement dans (2)) que {n} est un nombre premier.
| Question 2.a Soit {q} l’entier défini par {a^{n}-1=(a-1)q}. Montrer que : {q=n+\displaystyle\sum_{k=2}^{n}\dbinom{n}{k}(a-1)^{k-1}}. |
| Question 2.b En déduire l’égalité : {q\wedge (a-1)=n}. Montrer qu’il existe {r\ge2} tel que {q=n^{r}}. |
| Question 2.c Par l’absurde, on suppose que {n} est premier impair. Utiliser (2.a) pour montrer que {q\equiv n\ [n^{2}]}. En déduire une contradiction (ainsi {n=2}). |
| Question 2.d Montrer que {a} est un nombre de Mersenne. |
On garde l’hypothèse de la question (2), mais on suppose par l’absurde que {n} n’est pas premier. Soit {p} un diviseur premier de {n}.
| Question 3.a Montrer que {a-1} et {a^{p}-1} ont les mêmes facteurs premiers. En déduire que {a} est un nombre de Mersenne et que {n} est une puissance de {2}. |
| Question 3.b On pose {b=a^{2}}. Montrer que {b-1} et {b^{2}-1} ont les mêmes facteurs premiers. Aboutir à une contradiction. |