Exercice (oral Centrale/Supélec)
On note {\left(H_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}} la suite réelle définie par : {H_{0}=0\;\text{et}\;\forall n \in \mathbb{N}^{*}, H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}}
| Question 1 On note {F=\{P\in\mathbb{R}[X],\;P(0)=0}. On définit {\Delta : P(X) \mapsto P(X+1)-P(X)}. Montrer que {\Delta} est un isomorphisme de {F} sur {\mathbb{R}[X]} |
| Question 2 Dans cette question soit {P \in \mathbb{R}[X]\;\text{et}\;Q=\Delta^{-1}(P)} Montrer qu’il existe un unique {(R, S) \in \mathbb{R}(X)^{2}} tel que, pour tout {N\in\mathbb{N}}:{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} P(n) H_{n}=R(N) H_{N}-S(N)} |
| Question 3 Déterminer {U, V \in \mathbb{R}[X]} tels que, pour tout {n\ge1} : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2} H_{n+k}=U(n)\left(2 H_{2 n}-H_{n}\right)-V(n)}Indication : on pourra considérer {\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2 n}(n-k)^{2} H_{k}} |
| Question 4 Déterminer {A, B, C \in \mathbb{Z}[X]} tels que : {\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \displaystyle\sum_{k=0}^{n} H_{k}^{2}=A(n) H_{n}^{2}+B(n) H_{n}+C(n)} |