Intégrale trigonométrique à paramètre

On définit {I_{\beta}(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}.

1. Montrer que {I_{\beta}} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}}.

   Montrer que {I_{\beta}} vérifie : {(E)\;y^{\prime \prime}-y=\dfrac{-\beta}{\beta^{2}+x^{2}}}.

   On pose { :F_{\beta}(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\beta\,\text{e}^{-t}}{\beta^{2}+t^{2}}\mathrm{d}t}.

   Soit {J_{\beta}(x)=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}F_{\beta}(x)+\text{e}^{-x}F_{\beta}(-x)\right)}

2. Montrer que {J_{\beta}=I_{\beta}}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n \rightarrow+\infty} F_{1/n}(x)=0} suivant {x}.
4. En déduire la valeur de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.