Intégrale trigonométrique à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
Soit {\beta \in\mathbb{R}^{+\ast}}. On pose {f(x,t)=\dfrac{\cos(xt)}{1+t^2}\text{e}^{-\beta t}}.

On définit {I_{\beta}(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t}.

  1. Montrer que {I_{\beta}} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}}.

    Montrer que {I_{\beta}} vérifie : {(E)\;y^{\prime \prime}-y=\dfrac{-\beta}{\beta^{2}+x^{2}}}.

    On pose { :F_{\beta}(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\beta\,\text{e}^{-t}}{\beta^{2}+t^{2}}\mathrm{d}t}.

    Soit {J_{\beta}(x)=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}F_{\beta}(x)+\text{e}^{-x}F_{\beta}(-x)\right)}

  2. Montrer que {J_{\beta}=I_{\beta}}.
  3. Calculer {\displaystyle\lim_{n \rightarrow+\infty} F_{1/n}(x)=0} suivant {x}.
  4. En déduire la valeur de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\cos (xt)}{1+t^{2}}\mathrm{d}t}.

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