| (Oral Mines-Ponts) Soit {f(x,t)=\dfrac{\sin (x t)}{\text{e}^{t}-1}} et {I(x)\!\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!f(x,t)\mathrm{d}t} Montrer que {I} est {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}}. Montrer que {I(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{k^{2}+x^{2}}}. En déduire {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}I(x)}. |