Racines de dérivées n-ièmes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On définit les fonctions :{f(x)=\exp\Bigl(\dfrac1{1-x^{2}}\Bigr)\;\text{et}\;g(x)=\exp\Bigl(\dfrac1{1+x^{2}}\Bigr)}Elles sont {\mathcal{C}^{\infty}} sur leurs domaines respectifs.

On va étudier les racines de {f^{(n)}} et {g^{(n)}}.

Pour cela, on pose, pour tout {n\ge0} : {(S_{n})\begin{cases}f^{(n)}(x)=(1-x^{2})^{-2n}\,A_{n}(x)\,f(x)\\[3pt]g^{(n)}(x)=(1+x^{2})^{-2n}\,B_{n}(x)\,g(x)\end{cases}}

Question 1.a Préciser {A_{0}}, {B_{0}}, {A_{1}} et {B_{1}}.

Question 1.b Montrer que {(S_{n})_{n\ge0}} définit deux suites de polynômes {(A_{n})_{n\ge0}} et {(B_{n})_{n\ge0}} vérifiant les relations de récurrence {(\Sigma_{n}) }: {\begin{array}{rl}A_{n+1}(x)&=4nx(1-x^{2})A_{n}(x)\\[6pt]&\quad+(1-x^{2})^{2}A_{n}'(x)+2xA_{n}(x)\\\\B_{n+1}(x)&=-4nx(1+x^{2})B_{n}(x)\\[6pt]&\quad+(1+x^{2})^{2}B_{n}'(x)-2xB_{n}(x)\end{array}}

Question 1.c Préciser la parité de {A_{n},B_{n}} et leur degré. Indiquer leurs termes dominants (si {n\ge1}).

Question 2 Montrer que les polynômes {A_{n}} et {B_{n}} sont reliés par l’égalité : {A_{n}(x)=i^{n}\,B_{n}(i\,x)}.

Question 3 Préciser les limites suivantes, avec {n\ge1} : {\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}f^{(n)}(x),\;\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f^{(n)}(x)\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}g^{(n)}(x)}

Pour {n\ge1}, soit {a_{n}} le nombre de racines réelles distinctes de {A_{n}} dans {\mathbb{R}\setminus[-1,1]}, et soit {b_{n}} celui de ses racines imaginaires pures distinctes (y compris {0} éventuellement) : d’après (2), l’entier {b_{n}} est également le nombre de racines réelles distinctes de {B_{n}}.

Question 4 Montrer que : {\;\forall\,n\ge1,\;a_{n}+b_{n}=3n-2\ (\mathcal{P}_n)}. Indication : montrer {\begin{cases}a_{n+1}\ge a_{n}+2\\ b_{n+1}\ge b_{n}+1\end{cases}} Conclure finalement sur les racines de {A_{n}} dans {\mathbb{C}} (réelles? imaginaires pures? multiplicités?).