Irréductibilité des polynômes de Tchebychev

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Un polynôme non constant {F\in \mathbb{Z}[X] } est dit réductible dans {\mathbb{Z}[X]} s’il existe {R,S\in \mathbb{Z}[X]^{2}} non constants tels que {F=RS}.

Sinon, il est dit irréductible dans {\mathbb{Z}[X]}.

On considère la suite {\left( T_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}} de {\mathbb{Z}[X] } définie par : {\begin{cases}T_{0}=1,\ T_{1}=X\\\forall \ n\in \mathbb{N},\;T_{n+1}=2XT_{n}-T_{n-1}\end{cases}}On admet que :{\forall \ (n,x)\in \mathbb{N}\times \mathbb{R},\ T_{n}(\cos x)=\cos (nx)}

Question 1.a
Préciser le terme dominant et la parité de {T_{n}}.
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Question 1.b
Expliciter les coefficients de {T_{n}}.
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Question 1.c
Soient {n} et {m} des entiers naturels.
Démontrer que {T_{n}\circ T_{m}=T_{nm}}.
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Question 2
Soit {F=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}a_{k}X^{k}\in\mathbb{Z}[X]} de degré {m\geqslant2}.
On suppose qu’il existe {p} premier tel que : {p^{2}\nmid a_{0},\;\forall \ i\in \left[0,m-1\right] ,\ p\mid a_{i}\;\text{et}\;p\nmid a_{m}}On suppose qu’il existe {R,S\in \mathbb{Z}[X]^{2}} tels que : {\begin{cases}\deg(R)=r\geqslant 1\\\deg(S)=s\geqslant 1\end{cases}\;\text{et}\;F=RS}Expliquer pourquoi on peut supposer que {p} ne divise pas {R(0)}. En déduire que {p} divise alors tous les coefficients de {S}, et conclure à une impossibilité.
On a donc prouvé que {F} est irréductible dans {\mathbb{Z}[X]}.
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Question 3
Soit {p} un entier premier impair, et {F_{p}(X)=\dfrac{T_{p}(X)}{X}}.
Montrer que {F_{p}(X)} est irréductible dans {\mathbb{Z}[X]}
On pourra admettre que la propriété suivante : {\forall\, k\in \left[1,p-1\right],\;\dbinom{p}{k}\equiv 0\ \left[ p\right]}
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Question 4
En déduire que si {n} est pair sans être une
puissance de {2,} alors {T_{n}} est réductible dans {\mathbb{Z}[X]}.
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