Racines d’une suite de polynômes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour tout {n} dans {\mathbb{N}}, on définit le polynôme :{\begin{array}{rl}P_{n}&=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}\\[15pt]&=1+nX+\dfrac{(nX)^{2}}{2!}+\ldots+\dfrac{(nX)^{n}}{n!}\end{array}}Dans les questions 1.a à 1.c, on étudie des propriétés des racines de {P_{n}}, avec {n\ge1}.

Soit {Q_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{X^{k}}{k!}}. On a : {P_{n}(X)=Q_{n}(nX)}.

Si {\beta} est une racine réelle de {Q_{n}}, on suggère de s’intéresser à {Q_{n}'(\beta)}.

Question 1.a
Pour tout {n\ge1}, montrer que les racines de {P_{n}} dans {\mathbb{C}} sont toutes de multiplicité {1}.
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Question 1.b
Montrer que si {n\ge2} est pair, alors {P_{n}} ne possède aucune racine réelle (on raisonnera par l’absurde et on considèrera la plus grande racine réelle).
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Question 1.c
Montrer que si {n\ge1} est impair, alors {P_{n}} possède une et une seule racine réelle (par l’absurde, considérer deux racines réelles consécutives).
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On va démontrer que si {n\ge2}, les racines de {P_{n}} sont dans le disque unité ouvert.

Question 2.a
On pose {R_{n}(X)=(X-1)P_{n}(X)}.
Écrire {R_{n}=\lambda_{n}X^{n+1}\!-\!\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_kX^{k}}avec des {\lambda_{k}>0}
Montrer que si {P_n(z)=0}, alors {R_{n}(\left|z\right|)\le 0}.
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Question 2.b
En déduire que toutes les racines {z} de {P_{n}} dans {\mathbb{C}} vérifient {\left|z\right|\le 1}.
Plus particulièrement, si {n\ge2}, on vérifiera l’inégalité stricte {\left|z\right|\lt 1}.
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