Intégrale de t^(t^x)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f_x(t)=t^{t^x}=\text{e}^{t^x\ln t}}

et

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\!\!f_x(t) \,\text{d}t}

.

Montrer que ${F}$ est croissante et continue sur ${\mathbb{R}}$ ,
Écrire ${F(x)}$ comme somme de série si ${x>0}$ .
Étudier la limite de ${F}$ en ${+\infty}$ .

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