Composition de polynômes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Dans tout cet énoncé, on considère des polynômes unitaires à coefficients dans {\mathbb{C}}.

Soit {A\in\mathbb{C}[X]} unitaire de degré {mn}, où {m,n} sont des entiers supérieurs ou égaux à 2.

On dit que {A} est {(m,n)}-décomposable s’il existe un polynôme {B} unitaire de degré {m} et un polynôme {C} unitaire de degré {n} tels que {A(X)=B(C(X))}.

Question 1.
Montrer qu’un un polynôme {A}, unitaire de degré {4}, est {(2,2)}-décomposable si et seulement si ses racines (comptées selon leur multiplicité) forment un parallélogramme dans le plan complexe.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
On va généraliser le résultat de la question 1.

On rappelle que si {S} est un ensemble de {n} éléments de {\mathbb{C}} (non nécessairement distincts), on note :{\sigma_1(S),\sigma_2(S),\ldots,\sigma_n(S)} les « fonctions symétriques élémentaires » des éléments de {S}. On rappelle que les {\sigma_k(S)} sont définis par le développement :{\begin{array}{l}\displaystyle\prod_{s\in S}{(X-s)}\\[9pt]\quad=X^n-\sigma_1(S) X^{n-1}+\sigma_2(S) X^{n-2}+\cdots\\[9pt]\quad+(-1)^{n-1}\sigma_{n-1}(S)X+(-1)^n\sigma_n(S)\end{array}}Soit {A\in\mathbb{C}[X]} unitaire de degré {mn} avec {\begin{cases}m\ge2\\n\ge2\end{cases}}

On va prouver que {A} est {(m,n)}-décomposable si et seulement si il vérifie la propriété {\mathcal{P}} suivante :

L’ensemble des racines de {A} (répétées selon leur multiplicité) peut être partitionné en {m} ensembles {S_1,\ldots,S_m} de cardinal {n} telles que : {\begin{array}{l}\begin{cases}\forall\, (i,j)\in\llbracket 1,m\rrbracket^2\\[6pt]\forall\, k\in\llbracket1,n\!-\!1\rrbracket\end{cases},\ \sigma_k(S_i)=\sigma_k(S_{j})\end{array}}

Question 2.
Dans un premier temps, on suppose qu’il existe {B,C} unitaires, avec :{\begin{cases}\deg B=m\\\deg C=n\end{cases}\;\text{et}\;A(X)=B(C(X))}Soit {B=\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(X-\lambda_i)} la factorisation de {B}.
Pour {1\!\le\! i\!\le\! m}, soit : {C(X)\!-\!\lambda_i=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}(X\!-\!\mu_{i,j})}
Montrer que {A} vérifie la propriété {\mathcal{P}}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 3.
Établir la réciproque.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :