Exercice (oral Centrale/Supélec)
On note {E} l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, dont les racines vérifient {\left|z\right|\le1}.
Pour {n\in\mathbb{N}^{*}}, on note {E_{n}} le sous-ensemble de {E} formé des polynômes de degré égal à {n}.
Soit {P=X^{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}X^{n-k}} un élément de {E_{n}}.
| Question 1.a Montrer que : {\forall\,k\in\{1,\ldots,n\}\left|a_{k}\right|\le\dbinom{n}{k}}. On en déduit bien sûr que {E_{n}} est fini. Quels sont les éléments de {E_{1}}? |
| Question 1.b Montrer que toutes les racines non nulles éventuelles de {P_{n}} sont de module égal à {1}. (indication : considérer le produit de ces racines). |
Dans cette question, soit {P\in E_{n}}, avec {P\ne X^{n}}.
Soit {m} la multiplicité de {0} comme racine de {P_{n}} (donc {0\le m\lt n}).
Soit {\lambda_{m+1},\ldots,\lambda_{n}} les racines non nulles de {P}.
Ainsi {P(X)=X^{m}\displaystyle\prod_{k=m+1}^{n}(X-\lambda_{k})}.
| Question 2.a Montrer que {Q_{1}(X)=X^{m}\displaystyle\prod_{k=m+1}^{n}(X-\lambda_{k}^{2})\in E_{n}} |
| Question 2.b En déduire que les racines non nulles de {P} sont des racines de l’unité. |
On dit que {w} est une racine primitive {n}-ième de 1 si : {w^{n}=1\;\text{et}\;:\forall\, k\in\{1,\ldots,n-1\},\;\omega^{k}\ne1}Elles forment un ensemble qu’on note {V_{n}}.
On note {\Phi_{n}=\displaystyle\prod_{z\in V_{n}}(X-z)}.
({\Phi_{n}} est le polynôme cyclotomique d’indice {n})
| Question 3.a Soit {d} et {\delta} distincts dans {\mathbb{N}^{*}}. Montrer que {\Phi_{d}} et {\Phi_{\delta}} sont premiers entre eux. |
| Question 3.b Montrer que {X^{n}-1=\displaystyle\prod_{d\mid n}\Phi_{d}(X)} (raisonner sur les racines de ces polynômes) |
| Question 3.c En déduire que les {\Phi_{n}} sont des éléments de {E}. |