Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {E} l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, dont les racines vérifient {\left|z\right|\le1}.

Pour {n\in\mathbb{N}^{*}}, on note {E_{n}} le sous-ensemble de {E} formé des polynômes de degré égal à {n}.

Soit {P=X^{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}X^{n-k}} un élément de {E_{n}}.

Question 1.a
Montrer que : {\forall\,k\in\{1,\ldots,n\}\left|a_{k}\right|\le\dbinom{n}{k}}.
On en déduit bien sûr que {E_{n}} est fini.
Quels sont les éléments de {E_{1}}?
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Question 1.b
Montrer que toutes les racines non nulles éventuelles de {P_{n}} sont de module égal à {1}.
(indication : considérer le produit de ces racines).
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Dans cette question, soit {P\in E_{n}}, avec {P\ne X^{n}}.

Soit {m} la multiplicité de {0} comme racine de {P_{n}} (donc {0\le m\lt n}).

Soit {\lambda_{m+1},\ldots,\lambda_{n}} les racines non nulles de {P}.

Ainsi {P(X)=X^{m}\displaystyle\prod_{k=m+1}^{n}(X-\lambda_{k})}.

Question 2.a
Montrer que {Q_{1}(X)=X^{m}\displaystyle\prod_{k=m+1}^{n}(X-\lambda_{k}^{2})\in E_{n}}
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Question 2.b
En déduire que les racines non nulles de {P} sont des racines de l’unité.
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On dit que {w} est une racine primitive {n}-ième de 1 si : {w^{n}=1\;\text{et}\;:\forall\, k\in\{1,\ldots,n-1\},\;\omega^{k}\ne1}Elles forment un ensemble qu’on note {V_{n}}.

On note {\Phi_{n}=\displaystyle\prod_{z\in V_{n}}(X-z)}.
({\Phi_{n}} est le polynôme cyclotomique d’indice {n})

Question 3.a
Soit {d} et {\delta} distincts dans {\mathbb{N}^{*}}.
Montrer que {\Phi_{d}} et {\Phi_{\delta}} sont premiers entre eux.
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Question 3.b
Montrer que {X^{n}-1=\displaystyle\prod_{d\mid n}\Phi_{d}(X)}
(raisonner sur les racines de ces polynômes)
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Question 3.c
En déduire que les {\Phi_{n}} sont des éléments de {E}.
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