Équivalents d’intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose {F\colon x \rightarrow \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_{0}^{+\infty} \dfrac{1-e^{-t x}}{1+t^{2}} \,\text{d}t} .

Montrer que {F} est {\mathcal{C}^{2}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.

Trouver un équivalent de {F} en {+\infty}, et en {0}.

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