Inégalités à la Tchebychev

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {\mathbb{P}} l’ensemble des nombres premiers.

Pour {n\geqslant 1} et {p\in \mathbb{P}}, on note {v_{p}(n)} l’exposant de {p} dans la décomposition de {n} en facteurs premiers.

Pour {n\geqslant 1}, on note {\pi (n)} le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à {n}.

On note {E} la fonction « partie entière ».

On admet que : {\forall\,n\geqslant 1,\;v_{p}(n)=\displaystyle\sum_{k\geqslant 1}E\left( \dfrac{n}{p^{k}}\right)}
On admet que : {\forall\,x>0,\;\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;E\biggl( \dfrac{E(x)}{n}\biggr) =E\left( \dfrac{x}{n}\right)}.

Question 1
Pour tout réel positif ou nul, on pose : {f(x)\!=\!E(x)\!+\!E\left( \dfrac{x}{30}\right)\!-\!E\left(\dfrac{x}{2}\right)\!-\!E\left(\dfrac{x}{3}\right)\!-\!E\left( \dfrac{x}{5}\right)}Montrer que {f} est à valeurs dans {\{0,1\}}.
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On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;A_{n}=\dfrac{(30n)!\,n!}{(6n)!(10n)!(15n)!}}.

Question 2.a
Montrer que {A_{n}} est toujours un nombre entier.
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Question 2.b
Déterminer un équivalent de {A_n}.
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Question 3
Soit {p\in \mathbb{P}}, {n\in \mathbb{N}^{*}}, et {\alpha =v_{p}(A_{n})}.
Montrer {p^{\alpha }\leqslant 30n}, puis {v_{p}(A_{n})\leqslant E\left( \dfrac{\ln (30n)}{\ln p}\right) }.
En déduire : {A_{n}\leqslant (30n)^{\pi (30n)}\quad(1)}
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Question 4
Soient {p\in \mathbb{P}} et {n\in \mathbb{N}^{*}}, avec {15n\lt p\lt 30n}.
Montrer que {v_{p}(A_{n})=1}.
En déduire que : {(15n){\vphantom{\Big(}}^{\pi (30n)-\pi (15n)}\leqslant A_{n}}.
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Question 5
Montrer qu’il existe {a,b} dans {\mathbb{R}^{+*}} tels que :{\forall\,n\geqslant 2,\;a\dfrac{n}{\ln n}\leqslant \pi (n)\leqslant b\dfrac{n}{\ln n}}
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