Spé

Exercices corrigés pour les classes de 2nde année.

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}, où les {a_{i,j}} sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer : {E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}.
On suppose que les {a_{i,j}} suivent toutes la même loi. Soit {x\in \mathbb{R}}. Calculer {E(\chi_{A}(x))}.

Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne, {n} boules numérotées de 1 à {n}.
On effectue {n} tirages successifs sans remise.
Soit {X_{k}} le numéro de la boule tirée à l’étape {k}.
On dit qu’il y a un pic si {X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}.
Donner l’espérance du nombre de pics.

Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.

Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}.
On rappelle que : {\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}
Trouver le domaine de définition de {f}.
Montrer que la restriction de {f} à {\mathbb{R}^+} est {\mathcal{C}^{1}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx} existe et la calculer.

Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})} nulle pour {|x|\gt A}.
Montrer que {F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt} est {C^{\infty }} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}},
{\forall\, x>0},{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

Encore une intégrale à paramètre

(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.

  1. Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
  2. Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
  3. Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
  4. Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
  5. Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}

Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de {\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}.
Équivalent de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t} en {+\infty}.
En déduire un équivalent de {\ln \Gamma(x)} en {+\infty }.

Primitives et limites comparées

(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a_{n})} une suite strictement décroissante de limite {0}.
Pour {x>0}, soit {N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}.
Montrer que {N} est intégrable sur {]0,+\infty \lbrack } si
et seulement si la série {\displaystyle\sum a_{n}} converge.
Montrer qu’alors {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

Série d’intégrales

(Oral CCInp)
On pose {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\dfrac{1+t^{2}}{2}\Big)^{n}dt}.
Montrer : {\displaystyle\sum (-1)^{n}a_{n}} converge et {\displaystyle\sum a_{n}} diverge.
Calculer la somme {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n}a_{n}}.

Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.

Une suite/série implicite

(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.

Projection orthogonale dans Rn[X]

(Oral Mines-Ponts)
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?

Convergence faible

(Oral CCInp)
Soit {E} un espace préhilbertien réel.
On dit qu’une suite {(x_{n})_{n\in \mathbb{N}}} de vecteurs de {E} converge faiblement vers {x\in E} si : {\forall y\in E,\;\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}(x_{n}-x\mid y) =0}On suppose que {E} est de dimension finie.
Montrer que {(x_{n})} converge faiblement vers {x} si et seulement si {\lim\limits_{n\rightarrow+\infty }||x_{n}-x||=0}.
Montrer que c’est faux en dimension infinie.

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?

Conditions de diagonalisabilité (ou pas)

(Oral CCInp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}, avec {n\ge2}.
On suppose {f^{4}= f^{2}}, et {(\star)\;\{-1,1\}\subset\text{Sp}(f)}.
L’endomorphisme {f} est-il nécessairement diagonalisable?
Et en remplaçant {(\star)} par {\text{Ker}\,f=\text{Ker}\,f^{2}}?

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient {E} un {\mathbb{C}}-espace vectoriel de dimension finie et {u\in\mathcal{L}(E)}. On montre que {u} est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan {P} de {E} stable par {u} et une base de {P} dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par {u} s’écrit {\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}.