Fonction Ck à dérivées nulles en 0

(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.

  1. Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
  2. Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
  3. Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.

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