Spé

Exercices corrigés pour les classes de 2nde année.

Limite de fonctions inverses

(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose {u_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}.
Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Conjecturer la valeur de {\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}.
Prouver cette conjecture. Calculer {f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}.

Un jeton et quatre cases

(Oral Centrale 2018)
Un jeton se déplace aléatoirement sur quatre cases, selon un protocole particulier.
On demande une simulation de l’expérience avec Python.
On diagonalise la matrice de transition, pour étudier la probabilité que le jeton se trouve sur telle ou telle case à la date {n} quand {n\to+\infty}

Séries à convergence rapide

(Oral Centrale 2018)
Justifier l’existence de :{S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{16^{k}(8k+n)}\;\text{et}\;I=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\text{d}x}{1-i-x}}Exprimer {I} en fonction de {S_{1},S_{2},\ldots,S_{8}}. Calculer directement {I}.

Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)}: {f\Big(\dfrac{x}{2}\Big)+f\Big(\dfrac{x+1}{2}\Big)=f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.
Déterminer les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)}
Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}} vérifie {(E)}
Montrer que {S} n’est pas {\mathcal{C}^{2}}

Produits infinis

(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.

Une suite implicite paramétrée

(Oral Centrale 2018)
Soit {f_{n}(t)=\dfrac{e^{t}}{1+t^{n}}\;\text{et}\;\Phi _{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f_{n}(t)\text{d}t}
Étudier la convergence de {(f_{n})}. Montrer :
{\forall\,\alpha >0,\;\exists\,!\;x_{n}(\alpha )\in\mathbb{R}^{+},\;\Phi _{n}(x_{n}(\alpha ))=\alpha}Étudier {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_{n}(\alpha)}.

Deux suites d’intégrales

(Oral Centrale 2018)
On pose {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\cos\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{\,\text{d}t}{{t}^{n}+t^{2}+1}}.
De même, soit {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{t}{n}\Bigr)\dfrac{n\,\text{d}t}{t^{n}+t^{2}+1}}.
Déterminer les limites de {(I_{n})} et {(J_{n})}.

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale 2018)
Donner un équivalente de {S_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{n}\dfrac{\ln k}{k}}.
Montrer que la suite {n\mapsto u_{n}=S_{n}-\dfrac{\ln ^{2}(n)}{2}} converge.
Calculer {T=\displaystyle\sum_{k=3}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\ln(k)}{k}} (en fonction de la constante d’Euler)

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.

Produit de Kronecker

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} on pose :{F(A,B)=\begin{pmatrix}aB & bB \\ cB & dB\end{pmatrix}\text{\ quand\ }A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}Montrer que {F(A,B)F(A',B')=F(AA',BB')}.
Donner le rang, la trace, le déterminant de {F(A,B)}.
A-t-on {A,B} diagonalisables {\Rightarrow F(A,B)} diagonalisable? Réciproque?

Puissances de A à spectre simple

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} admettant {n} valeurs propres distinctes. Montrer qu’il existe {\begin{cases}(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})\in\mathbb{R}^n\\M_{1},\ldots,M_{n}\in\textrm{Vect}(I_{n},A,A^{2},\ldots,A^{n-1})\end{cases}}
tels que : {\forall p\in\mathbb{N},\;A^{p}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha _{k}^{p}M_{k}}.

Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.

Réduction d’endo. nilpotent

(Oral Centrale 2018)
Soit {v\in\mathcal{L}(E)}, avec {\dim(E)=3n}.
On suppose {v^{3}=0}, {v^{2}\neq 0} et {\mathrm{rg} (v)=2n}.
Montrer que {\text{Ker}(v)\subset \text{Im}(v^2)}.
Former une base où {v} a pour matrice {\begin{pmatrix}0_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ I_{n} & 0_{n} & 0_{n} \\ 0_{n} & I_{n} & 0_{n}\end{pmatrix}}

Deux suites de tirages monocolores

(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.

Promenade aléatoire sur ℤ

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.

Le plus petit numéro tiré

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.

Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.