(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+})^{\mathbb{N}}} décroissante. On pose, pour tout {n}, {u_{n}:x\mapsto a_{n}x^{n}(1-x)}.
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Montrer que la série de fonctions {\displaystyle\sum u_{n}} converge simplement sur {[0,1]}.
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Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge normalement sur {[0,1]} {\iff\displaystyle\sum\dfrac{a_{n}}{n}} converge.
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Déterminer une condition pour que {\displaystyle\sum u_{n}} converge uniformément sur {[0,1]}.
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