Une équation fonctionnelle

(Oral Centrale 2018)
Soit l’équation {(E)\!}: {f\Big(\!\dfrac{x}{2}\!\Big)\!+\!f\Big(\!\dfrac{x+1}{2}\!\Big)\!=\!f(x)} d’inconnue {f:[0,\;1]\rightarrow \mathbb{R}}.

  1. Montrer que les solutions {\mathcal{C}^{2}} de {(E)} sont affines. Les déterminer. On admet que le résultat est encore vrai pour les fonctions {\mathcal{C}^{1}}.
  2. On pose, pour {n\in\mathbb{N}^{\star}}, {u_{n}(x)=\dfrac{\sin (2^{n}\pi x)}{2^{n}}}.

    Montrer que {\displaystyle\sum u_{n}} converge sur [0,1] vers une fonction {S} continue.

    Montrer que {S} est solution de {(E)}. Que peut-on en déduire ?

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