(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
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Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}On note {x=f_{n}(y)}.
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Ecrire une fonction Python renvoyant {A_{n}(x)}.
Utiliser fsolve pour obtenir {f_{n}(y)}.
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Tracer, pour différents {n}, les fonctions {f_n}.
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Montrer que {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f} telle que : {\forall\,x\in\mathbb{R}^{+},\;0\le f(x)\lt 1}
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Cette question a été ajoutée à l’énoncé initial
Montrer que {\forall\,x\ge 0,\;f(x)=1-\text{e}^{-x}}.
Indication : Taylor avec reste intégral sur {\varphi(t)=-\ln(1-t)} sur {[0,x]}.
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