Racine carrée de matrice symétrique

(Oral Centrale 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\{\mu_{1},\ldots,\mu_{p}\}} ses valeurs propres distinctes.
Montrer : {\exists\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;P(M)^{2}=M}.
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