Exponentielle d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie.
    Montrer que les sous-espaces de {E} sont fermés.
  2. Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. On note {\exp_{p}(A)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{p}\dfrac{A^{k}}{k!}}.
    Montrer que la suite {(\exp _{p}(A))_{p\ge0}} converge.
    On notera {\exp (A)} sa limite.
  3. Montrer que {\exp (A)} est un polynôme en {A}.
  4. Existe-t-il un polynôme {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}

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