Convergence d’une suite d’intégrales

(Oral Centrale)
On note {G} l’ensemble des fonctions {g :[0,\ 1]\rightarrow \mathbb{R}^{+}} continues et croissantes. Soit {(g_{n})} une suite de {G}.
On suppose que {(g_{n})} est CVS vers {0} sur {[0,1[}.
On suppose aussi que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}g_{n}(x)dx=a\ne0}.

  1. Donner un exemple d’une telle suite de fonctions.
  2. Soit {f\in C^{1}([0,\ 1],\ \mathbb{R})}.
    On note {G_{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}g_{n}(t)dt}. Montrer que : {\forall\,x\in \lbrack 0,1],\;\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}G_{n}(t)dt=0}
  3. Montrer que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx=af(1)}.

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