Convergence d'une suite d'intégrales

(Oral Centrale)
On note

{G}

l’ensemble des fonctions

{g :[0,\ 1]\rightarrow \mathbb{R}^{+}}

continues et croissantes. Soit

{(g_{n})}

une suite de

{G}

.
On suppose que

{(g_{n})}

est CVS vers

{0}

sur

{[0,1[}

.
On suppose aussi que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}g_{n}(x)dx=a\ne0}

Donner un exemple d’une telle suite de fonctions.
Soit ${f\in C^{1}([0,\ 1],\ \mathbb{R})}$ .
On note ${G_{n}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}g_{n}(t)dt}$ . Montrer que : ${\forall\,x\in \lbrack 0,1],\;\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}G_{n}(t)dt=0}$
Montrer que ${\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx=af(1)}$ .

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