Calcul d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts)
On pose {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\! \dfrac{\text{d}t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{x}\right)}}.

Montrer que {F} est définie sur {\mathbb{R}^{+}}.

Calculer {F(0)} et {\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}F(x)}.
Calculer {F(x)} pour tout {x\gt0}.

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