Exemples de suites de fonctions

Exercice 1.
Étudier la convergence de la suite {(f_n)_{n\ge0}} définie sur {[0,1]} par : {f_n(x)=x^n}.
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Exercice 2.
On définit {f_n(x)=\dfrac{x}{n(1+x^n)}} pour {x\in\mathbb{R}^+}.
Montrer que : {\forall\, x\in\mathbb{R}^+,\;\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;0\le f_n(x)\le\dfrac1n}Que peut-on en conclure?
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Exercice 3.
Étudier la convergence de {(f_n)_{n\ge0}} définie par : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;\forall\,x\in\mathbb{R},\;f_n(x)=\cos\Bigl(\dfrac{nx}{n+1}\Bigr)}
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Exercice 4.
Soit {k} un nombre réel.
Étudier la convergence de {(f_n)_{n\ge0}} définie par : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;\forall\, x\in\mathbb{R}^{+},\;f_{n}(x)=n^k x^2\text{e}^{-nx}}
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Exercice 5.
Étudier le mode de convergence sur {\mathbb{R}^{+}} de la suite des fonctions {f_{n}(x)=\dfrac{x^{n}}{1+x^{n}}}.
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Exercice 6.
Étudier le mode de convergence sur {[0,1]} de la suite des fonctions {f_{n}(x)=n^{2}x^{n}(1\!-\!x)}.
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