Méthode de Newton et convergence uniforme

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On définit la fonction {f\colon x \in \mathbb{R} \mapsto x^3+x}.

Pour {x\in\mathbb{R}^+} on définit la suite {n\mapsto u_n(x)} par :

  • {u_0(x)=x}
  • pour {n\in\mathbb{N}}, {u_{n+1}(x)} est l’abscisse du point d’intersection de la tangente au graphe de {f} au point d’abscisse {u_n(x)} et de la droite horizontale d’ordonnée {x}.

Question 1
Montrer que {f} est bijective, et que sa réciproque {g} est impaire et de classe {{\mathcal C}^{\infty}}.
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Question 2.a
Montrer que pour {x\in\mathbb{R}^+} et {n\in\mathbb{N}}, on a :{u_{n+1}(x)=N_x( u_n(x))\;\text{où}\;N_x(t)=\dfrac{2t^3+x}{3t^2+1}}
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Question 2.b
Étudier {t \mapsto N_x(t)} et le signe de {N_x(t)-t}.
En déduire que la suite de fonctions {(u_n)} converge simplement vers {g} sur {\mathbb{R}^+}.
Y a-t-il convergence uniforme sur {\mathbb{R}^+} ?
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Question 3.a
Montrer que : {\forall\,t\in[g(x),x],\;0 \leq N_x'(t) \leq \dfrac 23}.
En déduire que pour tout {a >0} la suite {(u_n)} converge uniformément vers {g} sur {[0,a]}.
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Question 3.b
Montrer que pour tout {x} et {t} de {\mathbb{R}^+}, on a : {N_x(t)-g(x) = (t-g(x))^2 \dfrac{2t+g(x)}{3t^2+1}}En déduire que, pour {t\in[g(x),x]} : {0 \leq N_x(t)-g(x) \leq \dfrac{\sqrt{3}}2 (t-g(x))^2}
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Question 3.c
On fixe {x=1}.
Déterminer un {n} tel que {|u_n(1)-g(1)| \leq 10^{-20}}.
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