Exercice (oral Centrale/Supélec)
Pour tout {n\ge2}, on considère l’équation {(E_n): x^{n}=x+1}, dont l’inconnue est le réel {x}.
| Question 1 Montrer l’existence et l’unicité de {u_{n}}, solution de {(E_{n})} dans {\mathbb{R}^{+}}. Montrer que la suite {(u_{n})_{n\ge2}} converge vers {1}. |
| Question 2 On pose {g(x,y)=(2+x)^{y}-1}. On admet que l’égalité {y=g(x,y)} définit implicitement une fonction {x\mapsto y=\varphi(x)} au voisinage de {0} et continue à l’origine. Montrer que {\varphi} possède un développement limité à tout ordre en {0}. |
| Question 3.a Déduire de ce qui précède que {u_{n}} possède un développement à tout ordre suivant les puissances de {1/n} quand {n} tend vers {+\infty}. |
| Question 3.b Former le développement limité de {u_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}, à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}. |