Développement d’une racine d’un polynôme

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour tout {n\ge2}, on considère l’équation {(E_n): x^{n}=x+1}, dont l’inconnue est le réel {x}.

Question 1
Montrer l’existence et l’unicité de {u_{n}}, solution de {(E_{n})} dans {\mathbb{R}^{+}}.
Montrer que la suite {(u_{n})_{n\ge2}} converge vers {1}.
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Question 2
On pose {g(x,y)=(2+x)^{y}-1}.
On admet que l’égalité {y=g(x,y)} définit implicitement une fonction {x\mapsto y=\varphi(x)} au voisinage de {0} et continue à l’origine.
Montrer que {\varphi} possède un développement limité à tout ordre en {0}.
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Question 3.a
Déduire de ce qui précède que {u_{n}} possède un développement à tout ordre suivant les puissances de {1/n} quand {n} tend vers {+\infty}.
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Question 3.b
Former le développement limité de {u_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}, à la précision {\text{O}\Bigl(\dfrac{1}{n^{3}}\Bigr)}.
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