Une comparaison de moyennes

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour {p\in\mathbb{R}^*} et {x,y\in\mathbb{R}^{+*}}, on note :{M_{p}(x,y)={\Bigl(\dfrac{x^{p}+y^{p}}{2}\Bigr)}^{1/p}}On note encore {M_{0}(x,y)=\sqrt{xy}}.

Il est clair que {M_{p}(x,x)=x}.

Dans cet exercice, {x,y} sont fixés distincts dans {\mathbb{R}^{+*}}.

On pose {a=\dfrac{y}{x}} et {f(p)=\dfrac1p\ln\dfrac{1+{a}^{p}}{2}}.

Question 1
Calculer, en fonction de {x} et {y} :{\displaystyle\lim_{p\to-\infty}M_{p}(x,y)\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{p\to+\infty}M_{p}(x,y)}
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Question 2
Calculer de même {\displaystyle\lim_{p\to0}M_{p}(x,y)}
en fonction de {x} et de {y}.
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Question 3
Montrer que l’application {p\mapsto M_{p}(x,y)} est strictement croissante sur {\mathbb{R}}.
Indication : utiliser l’application {g :p\mapsto p^{2}f'(p)}.
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Question 4
Donner le développement limité de {p\mapsto g(p)} à l’origine, à la précision {\text{O}(p^{4})}.
En déduire celui de {p\mapsto M_{p}(x,y)} à l’origine, à la précision {\text{O}(p^{3})}.
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