QCM (suites et séries de fonctions)

Voici un QCM sur le thème « Suites et séries de fonctions ». Pour chacune des 18 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte. On réfléchira bien avant de choisir la bonne réponse, il peut y avoir des pièges.

Pour {n\ge1}, on pose {f_{n}(x)=\Big\lfloor x+\dfrac{1}{n}\Big\rfloor}.
Alors la suite {(f_{n})} converge simplement sur :
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {\mathbb{R}}
  2. {\mathbb{Z}}
  3. {\mathbb{R}\setminus\Z}
  4. {\mathbb{Q}}

La bonne réponse ?
La réponse 1
Soit {E} l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^{1}} sur {\mathbb{R}^{+}} et qui possèdent une limite finie en {+\infty}. Soit {(f_{n})} une suite de fonctions de {E} qui converge uniformément sur {\mathbb{R}^{+}} vers {f}. L’une des affirmations suivantes n’est pas nécessairement vraie. Laquelle?
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. {f} est continue
  2. {f} est de classe {\mathcal{C}^{1}}
  3. {f} est bornée
  4. {f} admet une limite finie en {+\infty}

La bonne réponse ?
La réponse 2
Sur {[-1,1]}, la fonction {x\mapsto\left|x\right|} ne peut pas être limite uniforme d’une suite {(f_{n})_{n\ge0}} de fonctions:
Une seule réponse juste parmi quatre

  1. de classe {\mathcal{C}^{\infty}}
  2. polynomiales
  3. en escalier
  4. telle que {\displaystyle\int_{-1}^{1}\!f_{n}(t)\,\text{d}t = \dfrac{1}{2}} pour tout {n}

La bonne réponse ?
La réponse 4
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