QCM (espaces vectoriels normés)

Voici un QCM sur le thème « Espaces vectoriels normés ». Pour chacune des 21 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte. On réfléchira bien avant de choisir la bonne réponse, il peut y avoir des pièges.

Dans

{\mathbb{R}}

on ne peut pas trouver de partie à la fois dense et :

Une seule réponse juste parmi quatre

ouverte
fermée
bornée
de complémentaire dense

La bonne réponse ?

La réponse 3

Soient

{N,N'}

deux normes sur l’espace

{E}

.
Laquelle des applications suivantes n’est pas une norme sur

{E}

Une seule réponse juste parmi quatre

${2N}$
${N+N'}$
${\max(N,N')}$
${NN'}$

La bonne réponse ?

La réponse 4

Soit

{X}

une partie ouverte non vide de

{E}

.
Pour une suite

{(x_{n})_{n\ge0}}

qui converge vers un vecteur

{a}

on considère les propriétés

{\mathcal{P}}

: «il existe un rang

{N}

tel que

{x_{n}\in X}

pour

{n\ge N}

» et

{\mathcal{Q}}

: «

{a\in X}

». Alors :

Une seule réponse juste parmi quatre

on a l'implication ${\mathcal{P}\Rightarrow \mathcal{Q}}$
on a l'implication ${\mathcal{Q}\Rightarrow \mathcal{P}}$
on a l'équivalence ${\mathcal{P}\Leftrightarrow\mathcal{Q}}$
il n'y a aucune implication entre ${\mathcal{P}}$ et ${\mathcal{Q}}$

La bonne réponse ?

La réponse 2

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