Exercices sur la réduction (2/2)
Six exercices sur le thème « réduction »
Mines-Ponts
Matrices semblables, par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Soient {A,B} diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}.
On suppose {\mathrm{S}\mathrm{p}(A)\cap \mathrm{S}\mathrm{p}(B)=\emptyset }.
Soit {N=\begin{pmatrix}A & C \\0 & B\end{pmatrix}} et {M=\begin{pmatrix}A & 0 \\0 & B\end{pmatrix}}
Montrer que {M\;\text{et}\;N} sont semblables.
Sont-elles diagonalisables?
Droite ou plan stable
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension {n\geq 2}.
Montrer que tout endomorphisme de {E} possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension {n\geq 2}.
Montrer que tout endomorphisme de {E} possède un
sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
P(A) diagonalisable, P'(A) inversible
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Soit {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} . On suppose qu’il existe {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {P(A)} soit diagonalisable et {P^{\prime }(A)} inversible.
Montrer que la matrice {A} est diagonalisable.
Diagonalisabilité par blocs
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Soient {A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} avec {AB=BA}
Soit {M=\left(\begin{array}{ll}A & B \\0 & A\end{array}\right) \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})}.
Condition pour que {M} soit diagonalisable.
Deux suites de tirages monocolores
(Oral Mines-Ponts 2018)
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Une urne contient une proportion {p\in\,]0,1[} de boules blanches et le reste de boules noires.
On effectue des tirages successifs avec remise.
On note {X_1,X_2} les longueurs des deux premières suites monocolores.
Donner la loi de {X_1}, son espérance, sa variance.
Donner la loi du couple {(X_1,X_2)}.
En déduire la loi de {X_2}, son espérance, sa variance.
Promenade aléatoire sur ℤ
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Soit {(X_{n})_{n\geq 1}} des v.a.r. indépendantes telles que :
{X_n(\Omega)\!=\!\{-1,1\}\;\text{et}\;\mathbb{P}(X_{i}\!=\!1)\!=\!\mathbb{P}(X_{i}\!=\!-1)\!=\!\dfrac{1}{2}}Montrer que {S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}} prend presque sûrement une infinité de fois la valeur {k}.
Le plus petit numéro tiré
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Dans une urne de {N} boules numérotées de {1} à {N}, on réalise {n} tirages avec remise. On note {X_{N}} le plus petit numéro tiré. Calculer {E(X_{N})} puis un équivalent de {V(X_N)} quand {N\to+\infty}.
Équation différentielle et prolongement
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Soit l’équation différentielle {(E)} : {2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}.
Résoudre {(E)} sur {]-\infty ,0[}, {]0,1[} et {]1,+\infty \lbrack}.
Montrer que {(E)} a une unique solution sur {]-\infty ,1[}.
Montrer que cette solution est {\mathcal{C}^{\infty}}.
Dérivation d’intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Domaine de {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\dfrac{t}{t^{2}+x^{2}}\arctan \dfrac{1}{t}\text{d}t}.
Montrer que {f} est {\mathcal{C}^{1}}. Calculer {f'} puis {f}.
Calcul d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Soit {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{1-\cos (tx)}{t^{2}(1+t^{2})}\,\text{d}t}
Montrer que {f} est {C^{2}} sur {\mathbb{R}}.
Montrer {\vphantom{\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}}f(x)=\dfrac{\pi}{2}(e^{-x}+x-1)} sur {\mathbb{R}^{+}}.
Équivalent d’une suite d’intégrales
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Existence de {I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin (nt)}{1+n^{5}t^{3}}\,\text{d}t}.
Donner {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_{n}} et un équivalent simple de {I_{n}}.
Série entière (très) lacunaire
(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}.
Donner un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Préciser le rayon de convergence de {f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}.
Donner un équivalent de {f(x)} quand {x\to1}.
Étude locale d’une série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon {R} de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}.
Convergence en {\pm \ R}? Déterminer {\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}.
Calculer le rayon {R} de {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}.
Convergence en {\pm \ R}? Déterminer {\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}.
Série entière et dérangements
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Soit {D_{n}} le nombre de permutations de {\{1,\ldots,n\}} sans point fixe (par convention, {D_0=1}).
Soit la série entière {f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}.
Montrer {\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!} et calculer {e^{x}f(x)}.
En déduire {D_{n}} sous forme de somme alternée.
Série entière et nombres de Catalan
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
On pose {a_{0}=1} et : {\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}.
Calculer {a_{n}} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Série entière et suite récurrente
(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
On pose {a_{0}=a_{1}=1} puis {a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}.
Que peut-on dire du rayon {R} de {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n} ?
Trouver {f(x)} et exprimer les {a_{n}} à l’aide d’une somme.
Série entière et intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}} existe si {x\lt1}.
Développer {f} en série entière en {0}.
Série de fonctions et série entière
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Montrer que {f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}} est développable en série entière sur {]-1,1[}
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
On montre que {I=\displaystyle\int_{0}^{1}\biggl(\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{\ln (1-t)}\biggr) \,\text{d}t=\gamma} (constante d’Euler)
Existence d’une intégrale à paramètre
(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence de {J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}
Existence de {J_{\alpha}=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(\exp \left(\dfrac{\sin ^{2}t}{t^{\alpha}}\right)-1\right) \,\text{d}t}
Étude d’une série de fonctions
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
On note {u_{n}(x)=(-1)^{n}\ln \left(1+\dfrac{x^{2}-1}{n(x^{2}+2)}\right)}.
Domaine, continuité et limites aux bornes de {\displaystyle\sum\limits_{n\ge1}u_{n}}
Une petite série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Déterminer la nature de {\displaystyle\sum\sin\big(\pi \sqrt{1+n^{2}}\big)}.
Un développement asymptotique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {x_n} la racine de {x^{3n}-3nx+1} dans {[1,+\infty[}.
Trouver {a,b} tels que {x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}.
Soit {x_n} la racine de {x^{3n}-3nx+1} dans {[1,+\infty[}.
Trouver {a,b} tels que {x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}.
Norme sur fonctions lipschitziennes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} euclidien et {u\in S^{+}(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}
Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)} et {\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}.
Soit {E} euclidien et {u\in S^{+}(E)} l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans {\mathbb{R}^{+}}
Soit {u}, {v\in S^{+}(E)}. Montrer que {\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)} et {\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}.
Moyenne des itérées d’une isométrie
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, soit {a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}.
Montrer que {\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}.
Étudier la suite {N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}
Dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, soit {a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}.
Montrer que {\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}.
Étudier la suite {N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}
det(u+v) ≥ det(u) + det(v)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace euclidien, et {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} tels que :
{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}Montrer que {\det (u+v)\geq \det u+\det v}.
Étudier le cas d’égalité.
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace euclidien, et {u,v} deux endomorphismes symétriques de {E} tels que :
{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}Montrer que {\det (u+v)\geq \det u+\det v}.
Étudier le cas d’égalité.
Exponentielle de matrice
(Oral Mines-Ponts 2018)
On étudie l’application {A\mapsto\exp(A)} dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}
On étudie l’application {A\mapsto\exp(A)} dans {\mathcal{M}_2(\mathbb{C})}
Une condition d’antisymétrie
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si :
{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP} est à diagonale nulle.
Montrer que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si :
{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP} est à diagonale nulle.
Projecteur et transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Série entière à coefficient intégrale
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}. Rayon {R} de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} puis convergence en {\pm R}.
Soit {a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}. Rayon {R} de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} puis convergence en {\pm R}.
Duo de séries entières
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.
Soit {(u_{n})} une suite bornée, et {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}.
Rayons de {u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}.
Relation entre {u'}, {S'} et {S}.
Calcul de {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}} quand {u_{n}=(-1)^{n}}.
Intégrale et série numérique
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln (1-t^{2})\ln (t)}{t^{2}}\,\text{d}t=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(2n-1)^{2}}}.
Probabilité et Cauchy-Schwarz
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X} une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout {\lambda \in\,]0,1[} : {\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}
Soit {X} une v.a.r positive de variance non nulle.
Montrer que, pour tout {\lambda \in\,]0,1[} : {\mathbb{P}(X\geq \lambda E(X))\geq (1-\lambda )^{2}\dfrac{E(X)^{2}}{E(X^{2})}}
Probabilité d’être un projecteur
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{1},\ldots,X_{n})} des v.a.r. indépendantes, de loi {\mathcal{B}(p)}.
Donner la loi du rang et de la trace de {M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}.
Quelle est la probabilité que {M} représente un projecteur ?
Soit {(X_{1},\ldots,X_{n})} des v.a.r. indépendantes, de loi {\mathcal{B}(p)}.
Donner la loi du rang et de la trace de {M=(X_{i}X_{j})_{1\leq i,j\leq n}}.
Quelle est la probabilité que {M} représente un projecteur ?
Un événement négligeable
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Soit {(X_{n})_{n}} des v.a.r indépendantes de loi {\mathcal{B}(p)}.
Soit {A_{n}=(X_{n}=\ldots=X_{2n-1}=1)}.
Soit {I} l’événement « une infinité de {A_{n}} sont réalisés ».
Montrer que {\mathbb{P}(I)=0}.
Convergence en probabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.
Dans cet exercice, on étudie la notion de convergence en probabilité pour une suite de variables aléatories réelles.
Suite de solutions d’une équa-diff
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Soit {E_{n}:(n+1)y''-(2n+1)y'+ny=0}.
Soit {y_{n}} la solution telle que {y_{n}(0)=0} et {y_{n}'(0)=1}.
Montrer que la suite {(y_n)} converge uniformément sur tout segment de {\mathbb{R}^+}.
Probabilité de diagonalisabilité
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Soit {Y\!:\Omega\to\mathbb{Z}} avec {\begin{cases}\mathbb{P}(Y\!=\!k)\!=\!\mathbb{P}(Y\!=\!-k)\\|Y|\leadsto\mathcal{P}(\lambda)\end{cases}}.
Donner la loi du rang {R} de {A=\begin{pmatrix}0 & Y & 1 \\ Y & 0 & 1 \\ Y & 1 & 0\end{pmatrix}}
Probabilité que {A} soit diagonalisable?
Différence de lois binomiales
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.
Autour du lemme de Gronwall
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
Soit {q\in\mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R}^{+*})}, croissante.
Soit {f} une solution de {f''+qf=0}.
Montrer que {f} est bornée.
L’intégrale de Dirichlet
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans cet exercice, on calcule {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}
Dans cet exercice, on calcule {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\,\text{d}t}
Intégrale généralisée en deux temps
(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine et continuité de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}.
Convergence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}
Domaine et continuité de {f(x)=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t}.
Convergence et calcul de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!f(x)\text{d}x}
Équation matricielle M MT M = In
Endomorphisme de polynômes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Soit {u\in\mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])} défini par {u(P)=nXP-(X^{2}-1)P'}.
Résoudre {nxy-(x^{2}-1)y'=\lambda y} sur {]-1,1[}. Diagonaliser {u}
Spectre d’un polynôme de matrice
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} et {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}. Le résultat demeure-t-il pour {M\in\mathcal{M}_{n}}({\mathbb{R}}) et le spectre réel ?
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} et {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\text{Sp}(M))=\text{Sp}(P(M))}. Le résultat demeure-t-il pour {M\in\mathcal{M}_{n}}({\mathbb{R}}) et le spectre réel ?
A² diagonalisable ⇒ A diagonalisable?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
Soit {A\in GL_{n}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}} est diagonalisable. Montrer que {A} est diagonalisable.
Le résultat demeure-t-il si {A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})} ?
Intégrale et constante d’Euler
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
Montrer que {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x} tend vers {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-x}\ln (x)\,\text{d}x=-\gamma}.
f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de {f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}.
Montrer que {f} se prolonge sur {\mathbb{R}^{2}}.
Ensemble de définition de {f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}.
Montrer que {f} se prolonge sur {\mathbb{R}^{2}}.