Mines-Ponts
Exercices corrigés donnés au concours « Mines-Ponts »

Conditions impliquant det(x A + y B)=0

](Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

, avec

{\det(A)=\det(B)=\det(A\!+\!B)=\det(A\!-\!B)=0}

.
Calculer

{\det(xA+yB)}

pour tous réels

{x,y}

.

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in {\mathcal M}_{2}(\mathbb{C})}

. Alors (

{A}

est semblable à

{-A}

)

{\Longleftrightarrow\text{tr}(A) = 0}

.

Projecteur p vérifiant u = pu – up ?

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

un endomorphisme d’un

\mathbb{K}

-espace vectoriel

{E}

.
À quelle condition existe-t-il un projecteur

{p}

de

{E}

vérifiant

{u= pu-up\,}

?

Racine carrée de la dérivation?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E_{1}}

le plan de

{E={\mathcal C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

engendré par

x\mapsto\sin x

et

x\mapsto \cos x

.
Existe-t-il

{u\in{\mathcal L}(E_1)}

tel que :

{\forall f\in E_1,\;u^{2}(f)=f'\;}

?
Existe-t-il

{v\in{\mathcal L}(E)}

tel que :

{\forall f\in E,\;v^{2}(f)=f'\;}

?

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

et

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

Un déterminant tridiagonal

(Oral Mines-Ponts)
On définit

{M_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

par

{m_{i,i}=\dfrac{a}{b}}

,

{m_{i,i+1}=a}

,

{m_{i+1,i}=\dfrac{1}{b}}

(et

{0}

sinon).
Calculer le déterminant

\Delta_n

de

{M_{n}}

.

Déterminant et Chebyshev

Soit

{M = (\cos(p\!-\!1)t_{q})_{1\le p,q\le n}}

. Calculer

{\det(M)}

.

Isomorphisme entre L(E) et E^n

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel de dimension

{n\in\mathbb{N}^{*}}

. Soit

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

dans

{E}

.
Soit

{\varphi\colon{\mathcal L}(E)\rightarrow E^{n}}

défini par

{\varphi(u)=(u(e_{1}),\ldots,u(e_{n}))}

. Montrer que

{\varphi}

est linéaire, et que c’est un isomorphisme si et seulement si

{(e_{k})_{1\le k\le n}}

est une base de

{E}

.

Les cos(kx) et sin(kx) sont libres

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que les fonctions

{x\mapsto \cos(x)}

,

{x\mapsto \sin(x)}

,

{x\mapsto \cos(2x)}

,

{x\mapsto \sin(2x)}

,

{\ldots}

,

{x\mapsto \cos (nx)}

,

{x\mapsto \sin(nx)}

sont linéairement indépendantes.

Polynômes tels que P(X)=P(1-X)

(oral Mines-Ponts)
Déterminer l’ensemble des

{P\in\mathbb{K}[X]}

tels que

{P(X) = P(1- X)}

.

Une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\sin(x)\text{e}^{-nx}}

sur

{\mathbb{R}^{+}}

.

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

et

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

.

Calcul d’un déterminant d’ordre n

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{\det(M)}

, pour

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{m_{i,j}=\dfrac{a_{i}}{a_{j}}+\dfrac{a_{j}}{a_{i}}}

Puissances d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\small\begin{pmatrix}0 & a & a^{2}\\ 1/a & 0 & a \\ 1/a^{2}& 1/a & 0\end{pmatrix}}

. Calculer

{A^{n}}

pour

{n\in\mathbb{N}}

.

Suite convergente de polynômes

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(P_{n})_{n\ge 0}}

une suite de

{\mathbb{R}_{m}[X]}

, avec

{m \ge 2}

, simplement convergente vers

{f}

. Montrer que

{f}

est polynomiale et que la convergence est uniforme sur tout segment.

Un endomorphisme diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

P^2=P

. Diagonalisabilité de

{\Phi\colon M\mapsto PM+MP}

.

Convergence uniforme et extrémas

(Oral Mines-Ponts)
On suppose que la suite

(f_n)

de fonctions continues converge uniformément sur

[a,b]

.
Étudier les suites

{\max\limits_{[a,b]}f_n}

et

{\min\limits_{[a,b]}f_n}

Une suite de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Convergence uniforme sur

{\mathbb{R}^+}

de la suite des

{f_n:x\mapsto \arctan\left(\dfrac{n+x}{1+nx}\right)}

.

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

.

Un développement en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière

{f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}

.

Un développement de arctan(x)

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel

{x}

:

{\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}

Rayon et somme d’une série entière

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}

.

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B_n}

le nombre de partitions de

{[[1,n]]}

.
Montrer

{B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k}

et

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}

Montrer :

{T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}}

(formule de Dobinski).

Rayon(s) de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de

{\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}

, et

{S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}

.
Montrer :

{R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}

Une série de fonctions, alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \ln \biggl(1\!+\!\dfrac{x}{n(1\!+\!x)}\biggr)}

.
Calculer

{\displaystyle\lim_{+\infty}f}

.

Valeurs propres extrémales

(Oral Mines-Ponts)
Inégalités entre valeurs propres extrémales de

u,v,u+v

, avec

u,v

symétriques.

Trace et égalité matricielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

avec

{A^3+A^2+A+I_n=0}

. Montrer que

{\text{tr}(A)\leq 0}

.

Réduction d’une matrice symétrique

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

où

{a_{i,j}=1}

si

{i\ne j}

, et

{a_{i,i}=i}

.

Puissances d’une matrice 3×3

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=\begin{pmatrix}-1&a&a\\1&-1&0\\ -1&0&-1 \end{pmatrix}}

. Calculer

{A^n}

pour

{n\in\mathbb{N}}

.

Dérivabilité de la fonction Zeta

(Oral Mines-Ponts)
Domaine, caractère

\mathcal{C}^{\infty}

, et limites aux bornes de

{\zeta : x\mapsto \displaystyle\sum_{n\geq 1} \dfrac{1}{n^x}}

.

Primitives de (x+√(x^2-1))^3

(oral Mines-Ponts)
Déterminer les primitives de

{x\mapsto f(x)=\left( x+\sqrt{x^2-1}\right)^3}

Condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in{\mathcal M}_p(\mathbb{C})}

telle que :

{\forall n\in[[1,k\!+\!1]]}

,

{M^n=\lambda_1^n A_1+\cdots +\lambda_k^n A_k.}

Montrer que la matrice

{M}

est diagonalisable.

Convergence d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Condition sur

{P\in\mathbb{R}[X]}

pour que

{\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)}

converge.

Diagonalisation d’une matrice 4×4

(Oral Mines-Ponts)
Diagonaliser

{\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ab&b^2&a^2&ab\\b^2&ab& ab&a^2\end{pmatrix}}

, où

(a,b)\in\mathbb{C}^2

.

Diagonalisabilité et blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Condition pour que

{B=\begin{pmatrix}A&0\\A&A \end{pmatrix}}

soit diagonalisable.

Somme d’une série numérique alternée

(Oral Mines-Ponts)
Convergence et somme de la série

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{(-1)^{n}}{3n+1}}

Spectre d’un opérateur shift

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\in{\mathcal C}^{+\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}

ayant une limite finie en

{+\infty}

.
Soit

{T\colon E \rightarrow E}

, défini par :

{T(f)(x)=f(x+1)}

.
Déterminer les valeurs propres de

{T}

Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

et

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}

.

Série définie par une intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la série de terme général

{u_{n}=\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\!\!\text{e}^{-x^{n}}\,\text{d}x}

.

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

Un arc paramétré

(Oral Mines-Ponts)
Étudier l’arc :

{x(t) = \dfrac{t^{3}}{t^{2}-1},\;y(t)=\dfrac{1}{t^{3}-t}}

.

Déplacements aléatoires sur un carré

(Oral Mines-Ponts)
On considère les déplacements aléatoires d’un point entre les sommets d’un carré

ABCD

, et on se donne les probabilités de transition d’un sommet à un autre. On demande la probabilité limite d’être en tel en tel sommet à la date

n

quand

n\to+\infty

.

Répartition de a*n boules dans n urnes

(Oral Mines-Ponts)
On répartit au hasard

{an}

boules dans

{n}

urnes. Soit

{S_{n}}

la proportion d’urnes vides après la répartition. Déterminer

{\text{E}(S_n),\text{V}(S_{n})}

et leur limite quand

{n\to+\infty}

Probabilités et urne bicolore

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2a}

boules blanches et

{a}

boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit

{X}

le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de

X

et

{E(X)}

(deux méthodes)

Probabilité de tirages monotones

(Oral Mines-Ponts)
On effectue

{p}

tirages successifs sans remise de

{n}

jetons numérotés de 1 à

{n}

. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

Inégalité et espérance mathématique

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{a\in[0, 1]}

et

{X}

une v.a.r positive ayant une espérance.
Montrer que

{(1-a)\text{E}(X) \le \text{E}\bigl(X\,\mathbf{1}_{X\ge a E(X)}\bigr)}

.

Un opérateur « valeur moyenne »

(Oral X-Cachan, Mines-Ponts, Centrale)
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions continues de

{\mathbb{R}^{+*}}

dans

{\mathbb{R}}

.
Soit

{T\colon E\rightarrow E}

, défini par

{T(f)(x)=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\text{d}t}

.
On étudie les éléments propres de

{T}

.

Calcul de sommes binomiales

(Oral Mines-Ponts)
Calculer les sommes

{\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\dbinom{n}{3k}}

et

{\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\dbinom{n}{4k}}

.

Un déterminant et un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{a_1,\cdots ,a_n\in\mathbb{C}}

distincts.
Calculer :

{P_n(x)=\begin{vmatrix}x & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_3 & & \vdots \\ \vdots & a_2 &x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots &a_n \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}&x\end{vmatrix}\quad}

Inversion d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}}

où

{m_{i,j}=0}

si

{j>i}

et

{m_{i,j}=\dbinom{i-1}{j-1}}

si

{j\leq i}

.
Calculer l’inverse

{M^{-1}}

de la matrice

M

.