Mines-Ponts
Exercices corrigés donnés au concours « Mines-Ponts »

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Matrices à puissances bornées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{A\in \text{G}L_{2}(\mathbb{R})}

telles que la suite

{n\in\mathbb{Z}\mapsto A^{n}}

soit bornée.

➡️

Crochet de Lie

(Oral Centrale 2018)
Dans un

{\mathbb{C}}

-ev

{E}

de dimension finie, on étudie les propriétés de

{u,v}

dans

{\mathcal{L}(E)}

tels que

{uv-vu=au+bv}

avec

{a\ne 0}

➡️

Un endomorphisme matriciel

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

, non nulle.
Éléments propres, trace et déterminant de

{\varphi:M\to M+\text{tr}(AM)A}

➡️

Un tirage géométrique avec remise

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{N}

une v.a.r telle que

{N+1\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Dans urne contenant une boule bleue et une boule verte, on effectue

{N}

tirages avec remise.
Trouver la loi du nombre

{X}

de boules vertes tirées.

➡️

Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

➡️

Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

➡️

Étude de série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer le domaine de

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\dfrac{x^{n}}{1-x^{n}}}

.
Étudier la continuité et le caractère

{\mathcal{C}^{1}}

{f}

➡️

Calcul d’une intégrale généralisée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Existence et calcul de

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\,\text{d}x}{\,\text{sh} (\sqrt{x})}}

➡️

Une équation fonctionnelle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}

➡️

Point fixe d’une fonction contractante

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un fermé de

{E}

(evn de dimension finie).
Soit

{f:A\rightarrow A}

{k}

-lipschitzienne avec

{0\le k\lt 1}

.
Montrer que

{f}

possède un unique point fixe sur

{E}

➡️

Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

➡️

Une diagonalisation très particulière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Diagonaliser la matrice

{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 &1\end{pmatrix}}

➡️

Racine n-ième matricielle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}\neq 0}

.
Montrer que :

{\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}

➡️

Si A³ = A+I_n, alors det(A)>0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=A+I_{n}}

. Montrer que

{\det(A)>0}

➡️

Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

➡️

Moyenne des itérés de u quand u^m = Id

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que

{u^{m}=\text{Id}}

{p=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}u^k}

.
Montrer que

{p^2=p}

{\dim \text{Ker}(u-\text{Id})=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{m-1}\text{tr}(u^{k})}

➡️

Polynômes dérivés successifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}

. À quelle condition a-t-on:

{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}

➡️

Déterminant et trace de la transposition

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de

{u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))}

défini par

{u(M)=M^{T}}

➡️

Trace et formes linéaires

(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les formes linéaires

{\varphi}

sur

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

telles que

{\varphi (MN)=\varphi (NM)}

➡️

Matrices nilpotentes semblables à …

(Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{K})}

, une matrice nilpotente.
Montrer que

{A}

est semblable à

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

{\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

, ou

{\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}}

➡️

Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par :

{B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

➡️

Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer l’inégalité

{PP''≤(P')^2}

➡️

{P}

est un polynôme réel scindé.

Une série réellement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge2}u_{n}}

où

{u_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{2k+1}}

➡️

Une série faussement alternée

(Oral Mines-Ponts 2018)
Nature de

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}\cos (\ln (n))}{n}}

➡️

Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}

(Oral Mines-Ponts 2018)
On note

{\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}

Soit ${P\in\mathbb{C}[X]}$ . Montrer que ${P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}}$ avec ${|a|=1}$

➡️

Une simple curiosité

(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités:

{9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}

Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.

➡️

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

➡️

Parité des solutions d’une équa-diff

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(E):y''+a(t)y'+b(t)y=0}

.
On suppose

{a,b}

continues sur

{\mathbb{R}}

. À quelle condition sur

{a,b}

existe-t-il une base de

{\mathcal{S}(E)}

formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire?

➡️

Une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-t}{\ln (t)}t^{x}\,\text{d}t}

➡️

Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

➡️

Puissances de polynômes annulateurs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si tout polynôme dont une puissance est annulatrice de

{A}

est lui même un polynôme annulateur de

{A}

➡️

Indépendance de X⁺ et X^–

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X}

une variable telle que

{X(\Omega )=\mathbb{Z}}

.
On pose

{X^{+}=\max (X,0)}

{X^{-}=\min (X,0)}

{X^+,X^-}

sont-elles indépendantes ?

➡️

Loi d’une somme de v.a.r

(Oral Mines-Ponts 2018)
On demande la loi de la somme de

{n}

v.a.r. indépendantes de même loi.

➡️

Majoration d’une probabilité

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(A_{k})_{1\leq k\leq n}}

des événements mutuellement indépendants. Soit

{B}

l’événement :
« aucun des événements

{A_k}

n’est réalisé ».
Montrer que

{\mathbb{P}(B)\le \exp \Big(\!-\!\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\mathbb{P}(A_{k})\Big)}

➡️

Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

➡️

DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts 2018)
Domaine, continuité, dérivabilité de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x}{n(1+nx^{2})}}

.
Donner un équivalent de

{f}

{0}

➡️

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.

➡️

Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien. On suppose que

{u,v}

sont à spectre positif. Montrer que

{\text{tr}(uv)\geq 0}

➡️

Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

➡️

Vect des matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{n\geq 2}

, et

{\mathcal{N}=\{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),\;M^{n}=0\}}

. Déterminer Vect

{(\mathcal{N})}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

➡️

Une condition de nilpotence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

. Alors

{M}

est nilpotente

{\Leftrightarrow\forall k\in\mathbb{N}^*,\;\mathrm{t}\mathrm{r}(M^{k})=0}

➡️

Une base de K_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{P\in \mathbb{K}[X]}

, de degré

{n}

, et soient

{a_{0},...,a_{n}}

distincts dans

{\mathbb{K}}

.
Montrer que les polynômes

{P_j(X)=P(X+a_{j})}

forment une base de

{\mathbb{K}_{n}[X]}

➡️

Étude d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Étude de la fonction

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n\in \mathbb{N}}\ln (1+e^{-nx})}

. Équivalent de

f

0

➡️

Une factorisation de polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{n\in \mathbb{N}^{\ast }}

. On considère le polynôme :

{\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}

Trouver les racines de

{P_n}

et le factoriser dans

{\mathbb{C}[X]}

➡️

Tirage de boules impaires

(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient

{2n}

boules numérotées de

{1}

{2n}

.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.

➡️

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

➡️