Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} un espace euclidien et {\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})} une base orthonormée de {E}.

  1. Soit u dans {\mathcal{L}(E)}. Montrer que {\text{tr}(u)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(u(e_{k})\mid e_{k})}.
  2. Soit {u} un endomorphisme symétrique de {E} à spectre positif.
    Montrer que: {\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x)\geq 0}.
  3. Soit {u}, {v} deux endomorphismes symétriques à valeurs propres positives.
    Montrer que {\text{tr}(uv)\geq 0}.

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