Suites de polynômes d’Appell

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit une suite {(B_{n})_{n\ge0}} de polynômes (suite d’Appell) vérifiant : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}

  1. Montrer que : {B_{n}(x+y)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}B_{k}(y)x^{n-k}}.
  2. Soit {(B_{n})_{n\ge0}} la suite d’Appell telle que : {\forall n\in\mathbb{N}^{*},\;\displaystyle\int_{0}^{1}B_{n}(t)\,\text{d}t=0}.

    • Calculer {B_k(1)-B_k(0)} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

      En déduire l’identité {B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}.

    • Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\text{d}t=x^{n}}.
    • Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on note {b_{n}=B_{n}(0)}.

      Montrer que, pour tous {n,p} dans {\mathbb{N}^{*}} : {\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}k^{n}=\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dbinom{n+1}{k}b_{n+1-k}\,p^{k}}

    • On donne {b_{0}=1,\;b_{1}=-\dfrac{1}{2},\;b_{2}=\dfrac{1}{6},\;b_{3}=0}.

      Retrouver l’expression de la somme des cubes des entiers.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr, c'est plus de 2500 exercices et 200 problèmes (tous soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à toutes les tailles d'écrans, pour une souscription de 20€ (un an) ou 30€ (deux ans).