Mines-Ponts
Exercices corrigés donnés au concours « Mines-Ponts »

Série et transformation d’Abel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(u_n)_{n\geq 1}}

une suite positive décroissante.
On suppose que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n}

converge.
On pose

{v_n= n(u_{n}-u_{n+1})}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n}

converge.
Exprimer sa somme en fonction de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n}

➡️

Un calcul d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue

{P\in\mathbb{R}[X]}

définie par

{(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}

➡️

Somme de lois de Rademacher

(Mines-Ponts)
Soient

{X_{1},\ldots,X_{n}}

des v.a.r indépendantes de loi :

{P(X_{k}=1)=P(X_{k}=-1)=1/2}

Soit

{S_{n}=X_{1}+\cdots+X_{n}}

.
Montrer que

{P\Big(\dfrac{S_{n}}{n}\geq \varepsilon\Big)\leq \exp\Big(-\dfrac{n\varepsilon ^{2}}{2}\Big).}

➡️

Un nombre géométrique de lancers

(Oral Mines-Ponts)
On lance

{N}

fois une pièce, où

{N\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Soit

{X}

le nombre de faces obtenu.
Déterminer la loi de

{X}

➡️

Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

➡️

Espérance d’un déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})_{1\leq i_{j}\leq n}}

, où les

{a_{i,j}}

sont des v.a.r. mutuellement indépendantes d’espérance finie.
Montrer :

{E(\det A)=\det ((E(a_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n})}

.
On suppose que les

{a_{i,j}}

suivent toutes la même loi. Soit

{x\in \mathbb{R}}

. Calculer

{E(\chi_{A}(x))}

➡️

Pics dans des tirages sans remise

(Oral Mines-Ponts)
Dans une urne,

{n}

boules numérotées de 1 à

{n}

.
On effectue

{n}

tirages successifs sans remise.
Soit

{X_{k}}

le numéro de la boule tirée à l’étape

{k}

.
On dit qu’il y a un pic si

{X_{k}>\max(X_{1},...,X_{k-1})}

.
Donner l’espérance du nombre de pics.

➡️

Une équation aux dérivées partielles

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer les

{f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\ \mathbb{R})}

telles que

{\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}-4\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+3\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0}

➡️

Exponentielle d’une matrice

Montrer que pour toute matrice A de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, il existe un polynôme

{P}

tel que

{\exp(A)=P(A)}

.
Existe-t-il un polynôme

{P\in \mathbb{C}[X]}

tel que

{\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}

➡️

Une relation série-intégrale

(Oral Mines-Ponts)
On admet :

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!e^{-x^{2}}dx=\dfrac{\sqrt{\pi }}{2}}

. Montrer que :

{I=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\!\!\dfrac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}\text{d}x=\dfrac{(2-\sqrt{2})\sqrt\pi}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n\sqrt{n}}}

➡️

Intégrale de exp(i x^2) de 0 à +∞

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\dfrac{e^{-x^{2}(t^{2}-i)}}{t^{2}-i}dt}

.
On rappelle que :

{\displaystyle\int_0^{+\infty}\!\!\!e^{-t^2}\,\text{d}t=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}}

Trouver le domaine de définition de

{f}

.
Montrer que la restriction de

{f}

{\mathbb{R}^+}

est

{\mathcal{C}^{1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!e^{ix^{2}}dx}

existe et la calculer.

➡️

Une transformation de Laplace

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in \mathcal{C}^{\infty }(\mathbb{R},\mathbb{C})}

nulle pour

{|x|\gt A}

.
Montrer que

{F(x)=\displaystyle\int_{\infty }^{+\infty }\!\!\!\!f(t)e^{-itx}dt}

est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que :

{\forall\, n\in \mathbb{N},\;\exists\, C_{n}\in \mathbb{R}}

{\forall\, x>0}

{\ |F(x)|\leq \dfrac{C_{n}}{x^{n}}}

➡️

Intégrale de (f(bx)-f(ax))/x sur R+

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f}

une fonction continue et intégrable sur

{\mathbb{R}^{+}}

.
Soient

{a,b\in \mathbb{R}}

tels que

{0\lt a\lt b}

.
Existence et valeur de

{J\!=\!\displaystyle\int_{0}^{+\infty }\!\dfrac{f(bx)-f(ax)}{x}dx}

➡️

Logarithme de la fonction Gamma

(Oral Mines-Ponts)
Donner le domaine de

{\Gamma :x\mapsto\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!t^{x-1}e^{-t}\text{d}t}

.
Équivalent de

{f(x)=\displaystyle\int_{x}^{x+1}\!\!\!\ln \Gamma (t)\,\text{d}t}

{+\infty}

.
En déduire un équivalent de

{\ln \Gamma(x)}

{+\infty }

➡️

Intégrale d’une fonction discrète

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite strictement décroissante de limite

{0}

.
Pour

{x>0}

, soit

{N(x)=\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\{n\in \mathbb{N};\;a_{n}\geq x\}}

.
Montrer que

{N}

est intégrable sur

{]0,+\infty \lbrack }

si
et seulement si la série

{\displaystyle\sum a_{n}}

converge.
Montrer qu’alors

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!N(x)\,\text{d}x=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }a_{n}.}

➡️

Divergences en chaîne

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f(x)=\dfrac{\sin\ln(x)}{x}}

. Montrer que

{\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x}

diverge.
En déduire que

{n\mapsto\displaystyle\int_{1}^{n}f(x)\,\text{d}x}

{\displaystyle\sum_{n\ge2}f(n)}

divergent.

➡️

Limite d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{n})}

une suite telle que

{a_{0}=1}

et :

{\forall\, n\geq1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{a_{k}}{(n-k)!}=1\quad(\star)}

Montrer que, pour tout

{n\in \mathbb{N}}

{a_{n}\in \lbrack 0,1]}

.
Calculer la limite de la suite

{(a_{n})}

➡️

Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

➡️

Développabilité en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^\infty[0,a[}

, à dérivées toutes positives.
Soit

{R_{n}(x)}

e son reste intégral d’ordre

{n}

sur

{[0,x]}

.
Montrer que

{x\mapsto R_{n}(x)/x^{n+1}}

est croissante.
En déduire que

{f}

est DSE sur

{[0,a[}

➡️

Séries entières trigonométriques

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\theta \in\,]0,\pi[}

. On pose :

{f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}

Rayon et somme de ces deux séries entières.

➡️

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

{\displaystyle\sum a_n x^n}

➡️

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

➡️

Série des f(n) avec hypothèse sur f’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+\ast},\mathbb{C})}

, intégrable sur

{[1,+\infty]}

.
Comparer

{\displaystyle\sum f(n)}

{n\mapsto \displaystyle\int_{1}^{n}f(t)\,\text{d}t}

converge.
Application : nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{\cos \sqrt{n}}{n^{\alpha }}}

quand

{\alpha >\dfrac{1}{2}}

➡️

La série des sin(2π e n!)

(Oral Mines-Ponts)
Donner un équivalent de

{u_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}}

.
En déduire que la série

{\displaystyle\sum\sin (2\pi\,\text{e}\, n!)}

diverge.

➡️

Équivalent d’un produit partiel

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe une constante

{C\neq 0}

telle que :

{\displaystyle\prod\limits_{2\leq k\leq n}\biggl(1+\dfrac{(-1)^{k}}{\sqrt{k}}\biggr)\stackrel{n\rightarrow +\infty }{\sim }\dfrac{C}{\sqrt{n}}}

➡️

Une série en arccos

(Oral Mines-Ponts)
Nature de la série de terme général

{u_{n}=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{c}\cos \Big(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{(-1)^{n}}{n^{\alpha }}\Big)-\dfrac{\pi }{6}}

➡️

Projection orthogonale dans Rn[X]

(Oral Mines-Ponts)
On munit

{E=\mathbb{R}_{n}[X]}

du produit scalaire

{(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

Soit

{A\ne0}

dans

{E}

. Pour tout

{P\in E}

, on note

{f_{A}(P)}

le reste de la division euclidienne de

{P}

par

{A}

.
Montrer que

{f_{A}}

est un endomorphisme de

{E}

. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?

➡️

Distance à deux supplémentaires

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces de

{E}

euclidien.
Montrer que

{F}

{G}

sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :

{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}

➡️

SAS définie positive ?

(Oral Mines-Ponts) Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

{S}

dans

{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

. Montrer : (

{SAS}

symétrique définie positive)

{\Leftrightarrow}

(

{A}

symétrique définie positive, et

{S}

inversible).

➡️

Inverse d’une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

, définie positive.
Montrer que, pour tout

{X\in \mathbb{R}^{n}}

{\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

➡️

Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{\top}=A^{2}}

Étudier la diagonalisation de

{M=A^{\top}A}

.
Montrer que

{A}

est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.

➡️

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

une matrice diagonalisable.
Soit

{B=A^{3}+A+I_{n}}

.
Si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, montrer que

{A}

est un polynôme en

{B}

.
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

?
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, mais que

{A}

n’est pas supposée diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Un exemple de trigonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^3)}

tel que

{u^2\ne 0}

{u^5=0}

.
Montrer qu’il existe une base de

{\mathbb{R}^3}

dans laquelle la matrice de

{u}

est :

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

➡️

Un critère de non diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{C}}

-espace vectoriel de dimension finie et

{u\in\mathcal{L}(E)}

. On montre que

{u}

est non diagonalisable si et et seulement s’il vérifie la propriété : il existe un plan

{P}

{E}

stable par

{u}

et une base de

{P}

dans laquelle la matrice de l’endomorphisme induit par

{u}

s’écrit

{\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}}

➡️

Racine n-ième d’une rotation

(Oral Mines-Ponts)
Sent

{M\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R}),\;n\in \mathbb{N}}

avec

{M^{n}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}}

.
Soit

{\theta_{k}=\frac{(2k+1)\pi}{2n}}

{R_{k}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{k} & -\sin\theta_{k} \\\sin\theta _{k} & \cos\theta _{k}\end{pmatrix}}

.
Montrer :

{\exists\,Q\in \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R}),\exists\,k\in \mathbb{N},\;Q^{-1}MQ=R_{k}}

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Mines-Ponts)
Pour

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

, on note :

{E_A=\{B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;B^{2}=A\}}

Trouver les

{A\in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telles que

{E_A}

soit fini non vide.
Que dire alors de

{\text{Card}(E_A)}

➡️

Diagonalisabilité et déterminant

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension

{n}

.
Soit

{\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})}

une base de

{E}

.
Soit

{u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}e_i}

{f\in\mathcal{L}(E)}

défini par :

{\forall\,i\in\{1,\ldots,n\},\;f(e_{i}) = e_{i} + u}

Trouver les éléments propres de

{f}

{f}

est-il diagonalisable ? Quel est son déterminant ?

➡️

Égalité matricielle AB-BA=B

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A,B\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{AB-BA=B\ (\star)}

Calculer

{\mathrm{tr}(B)}

. Montrer que

{B}

n’est pas inversible.
Montrer :

{\forall\,k\in \mathbb{N},\;AB^{k}-B^{k}A=kB^{k}}

.
En déduire que

{B}

est nilpotente (plusieurs méthodes)

➡️

Indépendance d’une famille de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(f_{1},\ldots,f_{n})}

une famille de fonctions de

{\mathbb{R}}

dans

{\mathbb{R}}

. Montrer qu’elle est libre si et seulement s’il existe

{n}

réels

{x_{1},\ldots,x_{n}}

tels que la matrice des

{f_{i}(x_{j})}

soit inversible dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

➡️

Réciproque de P ↦ P-P’

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{B\in \mathbb{R}[X]}

.
Montrer :

{\exists!\;A\in\mathbb{R}[X],A-A^{\prime}=B}

.
Montrer que si

{B\ge0}

sur

{\mathbb{R}}

, alors

{A}

aussi.

➡️

Endomorphisme vérifiant u^3=u

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension finie.
Soit

{u\in{\mathcal L}(E)}

tel que

{u^{3}=u}

.
Montrer que

{u^{2}}

est un projecteur.
Que dire si

{\text{tr}(u)=\text{rg}(u)}

➡️

Conditions suffisantes d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

.
Pour

{i\in \lbrack\lbrack 1,n]]}

, on note

{L_{i}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k\neq i}|a_{i,k}|}

.
On suppose

{|a_{i,i}|>L_{i}}

pour tout

{i}

.
Montrer que

{A}

est inversible.
On suppose

{|a_{i,i}a_{j,j}|>L_{i}L_{j}}

pour tous

{i\neq j}

.
Montrer là encore que

{A}

est inversible.

➡️

Combinaisons de matrices nilpotentes

(Oral Mines-Ponts & Ensam)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

: la matrice

{A+tB}

est-elle nilpotente? Réciproquement, s’il existe des

{t_k}

distincts tels que

{A+t_kB}

soit nilpotente, les matrices

{A,B}

sont-elles nilpotentes?

➡️

Matrice semblable à son opposée

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{C})}

une matrice nilpotente.
Soit

{p}

son indice de nilpotence. Montrer que

{p\leq 3}

.
On suppose

{p=3}

. Montrer que

{A}

est semblable à

{-A}

si et seulement si

{\det A=\text{tr}\,A=0}

➡️

Commutant de A quand A^2=0

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

non nulle telle que

{A^{2}=0}

.
Déterminer la dimension de

{\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}

➡️

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

➡️

Intégrale fonction de ses bornes

(Oral Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\displaystyle\int_{x}^{x^{2}}\dfrac{\,\text{d}t}{\ln t}}

.
Montrer que

{f}

est prolongeable par continuité sur

{\mathbb{R}_{+}}

.
Montrer que ce prolongement est

{C^{\infty }}

sur

{\mathbb{R}_{+}^{\ast}}

mais pas sur

{\mathbb{R}_{+}}

➡️

Majoration des racines d’un polynôme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}

.
On pose

{A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}

.
Soit

{z}

une racine de

{P}

.
Montrer que

{|z|\leq \max \{1,\ A\}}

➡️

Une décomposition en éléments simples

(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme

{P_n}

tel que :

{P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}

Décomposer

{1/P_{n}}

en éléments simples.

➡️