Mines-Ponts
Exercices corrigés donnés au concours « Mines-Ponts »

Intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)
Existence et calcul de

{\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\biggl(\displaystyle\int_{x}^{+\infty}\dfrac{e^{-t}}{t}\text{d}t\biggr)\text{d}x}

➡️

Limite d’une intégrale à paramètre

(Ooral Mines-Ponts)
Pour

{x>0}

, on pose

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\ln (t)\ln (1-t^{x})\,\text{d}t}

.
Montrer que

{f}

est bien définie et l’écrire comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de

{f}

{0}

➡️

Nature de ∑sin(2πen!)

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}

. Montrer

{\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}

.
Préciser la nature de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}

➡️

Équation M²-M+M^T=I_n

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre

{M^{2}-M+{M}^{\top}=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Base dont l’image est orthogonale

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est euclidien. Prouver l’existence d’une base

{(e_{1},\ldots ,e_{n})}

{E}

telle que la famille

{(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))}

soit orthogonale.

➡️

Trace rationnelle

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

{\mathbb{R}}

-ev de dimension

{n}

{f\in \mathcal{L}(E)}

tel que :

{f^{3}+f^{2}-\text{Id}_{E}=0}

{\text{tr}(f)\in \mathbb{Q}}

.
Montrer que

{n}

est un multiple de

{3}

➡️

Égalité matricielle et trace

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

{\{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\;M^{5}=M^{2},\;\text{tr}(M)=n\}}

➡️

Une base de C_n[X]

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{(z_{j})_{0\leq j\leq n}}

des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille

{((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}}

est une base de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

➡️

Orthocentre à l’origine

(Oral Mines-Ponts)
Déterminer

z\in\mathbb{C}

tels que l’orthocentre de

A(z)

B(z^2)

C(z^3)

soit en

0

➡️

Loi définie par sa fonction génératrice

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la v.a.r.

X

définie par

{G_{X}(t)=\dfrac{1}{(2-t)^{\alpha}}}

➡️

Un problème de minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

à valeurs propres strictement positives.
Soit

{B\in \mathbb{R}^{n}}

, et

{f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}}

définie par

{f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}

.
Montrer que

{f}

possède un minimum et le déterminer.

➡️

Décomposition en suites monotones

(oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}

. Montrer qu’il existe des suites

{v}

{w}

respectivement croissante et décroissante telles que

{u=v+w}

➡️

Une série de fonctions

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
On étudie la série de fonction

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{x e^{-nx}}{\ln(n)}}

➡️

Un endomorphisme symétrique

(Oral Tpe)
Soit

u

un vecteur unitaire de

{E}

euclidien, et soit

{a \in\mathbb{R}^{*}}

.
On étudie l’endomorphisme

{f_{a}}

E

défini par

{f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}

➡️

Points fixes uniques

(oral Mines-Ponts)
Soient

{f}

{g}

deux fonctions continues sur

{\mathbb{R}}

, avec

{f\circ g}

décroissante.
Montrer que

{f\circ g}

{g\circ f}

admettent un unique point fixe.

➡️

La somme des 1/k^2

(Oral Mines-Ponts)
Une méthode classique, avec du calcul intégral, pour obtenir la valeur de

{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}}

➡️

Deux encadrements

(oral Mines-Ponts)
Montrer que

{\forall\, x}

{y\in \mathbb{R}^{+*}}

{\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}

➡️

A nilpotente réelle commutant avec A^T

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

nilpotente et telle que

{A^{\top}A=A\,A^{\top}}

➡️

Une condition d’inversibilité

(Oral Mines-Ponts)
On suppose

\dim(E)=n

. Soit

{f\in \text{GL}(E)}

, et

{g\in \mathcal{L}(E)}

avec

{\text{rg}(g)=1}

.
Montrer que

{f+g\in\text{GL}(E)\Leftrightarrow \text{Tr}(g f^{-1})\neq -1}

➡️

Racines d’un polynôme

(oral Mines-Ponts)
Trouver les racines complexes de

{P(X)=1+2X+\ldots +2X^{n-1}+X^{n}}

➡️

La somme des k^2 binom(n,k)

(Oral Mines-Ponts)
Calculer

{S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}}

(cinq méthodes possibles!)

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Série entière et série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Rayon de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}

, où

{a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}

➡️

Un développement en série entière

(Oral Mines-Ponts)
Développer

{\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}}

en série entière.

➡️

Comparaison de rayons de CV

(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

{\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}

➡️

Étude de rayons de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de convergence de

{\sum a_{n}x^{n}}

.
Trouver ceux de

{\sum a_{n}x^{2n}}

{\sum a_{n}^{2}x^{n}}

{\sum a_{n}x^{n^{2}}}

➡️

Une série entière millésimée

(Oral Mines Ponts)
Rayon

{R}

et calcul de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}

➡️

Une série de fonctions alternée

(Oral Mines-Ponts)
Domaine, dérivée, variations, étude aux bornes, pour

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{n!\,(x+n)}}

➡️

CV uniforme d’une série de fonctions

(Oral Mines-Ponts et Ccp)
Convergence et continuité de

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

.
Mêmes questions avec

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n\ge1}(-1)^{n}\dfrac{x}{n^{2}+x^{2}}}

➡️

Fonctions Zeta et Zeta alternée

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{f\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^{x}}}

{g\colon x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{x}}}

.
Étudier les domaines de

{f}

{g}

, les limites de

{f}

aux bornes, la continuité et la dérivabilité de

{g}

.
Donner une relation entre

{f}

{g}

, puis un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Une suite récurrente de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
Sur

{\mathbb{R}^{+}}

, on pose

{f_{0}=0}

{f_{n+1}(t)=\sqrt{t+f_{n}(t)}}

.
Étudier la convergence de la suite

(f_n)_{n\ge0}

➡️

Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\delta\in\,]\,0,1[}

. Donner un équivalent de

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t}

{+\infty}

➡️

Équivalents et polynômes

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P \in\mathbb{R} [X]}

. Trouver un équivalent de

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Diagonalisabilité de A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

une matrice telle que

{A^{2}}

soit diagonalisable.
Montrer que

{A}

est diagonalisable si et seulement si

{\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}

.
Étudier le cas où la matrice

A

est antisymétrique réelle.

➡️

Une condition de diagonalisabilité

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{M,A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Soient

{\lambda,\mu}

dans

{\mathbb{C}}

, distincts et non nuls.
On suppose que

{I_{n}= A + B}

{M = \lambda A + \mu B}

, et

{M^{2} = \lambda^{2} A + \mu^{2} B}

.
Montrer que

{A,B}

sont des projecteurs et que

M

est diagonalisable.

➡️

Réduction de M -> AMB

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

{\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{C}))}

définie par

{\varphi(M)=AMB}

.
Montrer que si

A,B

sont diagonalisables,

\varphi

est diagonalisable (deux méthodes)

➡️

Déterminant puis valeurs propres

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A_{n}\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

définie par

{a_{i,j} = 1}

{|i- j| = 1}

, et

{a_{i,j}=0}

sinon.
Calculer

{\Delta_{n}(\theta)=\det(2\cos(\theta)I_{n}-A_{n})}

. En déduire

{\text{Sp}(A_{n})}

➡️

Diagonalisation et déterminant

(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Soit

{M = (m_{i,j})\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

où

{m_{i,i} = a}

pour

{i\in[[1,n]]}

{m_{i,j} = b}

{i\ne j}

.
La matrice

{M}

est-elle diagonalisable ? Donner ses valeurs propres. Quelles sont les dimensions de ses sous-espaces propres ? Calculer

{\det(M)}

➡️

Somme d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Calculer la somme

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{1}{(3n)!}}

➡️

Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par

u_1\gt0

et :

{\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Rayon de convergence de ∑ tr(A^k)z^k

(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit

{A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

. Donner le rayon de

{\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}

➡️

Réduction d’une matrice en damier

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A = (a_{i,j})\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

telle que

{a_{i,j} = 1}

{i+ j}

est pair,

{a_{i,j} = 2}

sinon.
Diagonaliser A. Résoudre

{X^{2} + 2X = A}

dans

{{\mathcal M}_{4}(\mathbb{R})}

➡️

Sev stables par u diagonalisable

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{E}

\mathbb{K}

-ev de dimension

{n\ge1}

{u \in{\mathcal L}(E)}

tel que

{\text{card}(\text{Sp}(u)) = n}

.
Dénombrer les sous-espaces de

{E}

qui sont stables par

{u}

➡️

Réduction d’une matrice en L

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{R}^{n}}

{M\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{m_{i,n} = m_{n,i} = a_{i}}

pour tout

{i}

, et

{m_{i,j}=0}

sinon.
Montrer que

{M}

est diagonalisable puis diagonaliser

{M}

➡️

Endomorphisme et produit vectoriel

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u}

dans

{E}

euclidien orienté de dimension

{3}

.
Déterminer les

{f\in\mathcal{L}(E)}

tels que

{x\wedge u}

f(x)

sont liés pour tout

{x\in E}

➡️

Réflexions conjuguées

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{H_{1}, H_{2}}

deux hyperplans de

{E}

euclidien. On note

{s_{i}}

la réflexion par rapport à

{H_{i}}

.
Montrer que

{s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}

, où

{s_{3}}

est la réflexion par rapport à

{H_{3}=s_2(H_1)}

➡️

Diagonalisation et hyperplans stables

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^n)}

, avec

{n\ge1}

. Montrer que

(a)\Leftrightarrow(b)

:
(a) l’endomorphisme

{f}

est diagonalisable,
(b) il existe

{n}

hyperplans

{H_{1},\cdots,H_{n}}

stables par

{f}

tels que

{H_{1}\cap\cdots\cap H_{n} = \{0\}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️

Déterminant positif, par blocs

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A, B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

{M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&A\end{pmatrix}}

.
Montrer que

{\det(M)\ge 0}

➡️