Une suite récurrente de fonctions

(Oral Mines-Ponts)
On pose {f_{0}(t)=0} puis {f_{n+1}(t)=\sqrt{t\!+\!f_{n}(t)}}.

  1. Montrer que {(f_{n})_{n\ge0}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers une fonction {f} à préciser.
    La convergence est-elle uniforme sur {\mathbb{R}^{+}}?
  2. Prouver que, pour {n\in\mathbb{N}} et {t\in\mathbb{R}^{+*}} : {\left|{f_{n+1}(t)-f(t)}\right|\le\dfrac{\left|{f_{n}(t)-f(t)}\right|}{f(t)}}En déduire que la convergence est uniforme sur {[a,+\infty[} pour tout {a>0}.

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