Série alternée de fonctions

(Oral Ccp)
Pour {x\ge0}, soit {u_{n}(x)=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}.

  1. Étudier le mode de convergence de {\displaystyle\sum u_{n}}.
  2. Soit {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}(x)} et {F(x)=\text{e}^{x}S(x)}.
    Étudier la dérivabilité de {F} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
  3. Déterminer {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)}.
    En déduire {F(x)}, puis {S(x)}.
  4. Donner la primitive {U} de {S} s’annulant en {0}.
    Montrer que {S} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :