(Oral Ccp)
Pour {x\ge0}, soit {u_{n}(x)=\dfrac{(-1)^{n}}{n}\text{e}^{-(n+1)x}}.
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Étudier le mode de convergence de {\displaystyle\sum u_{n}}.
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Soit {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}u_{n}(x)} et {F(x)=\text{e}^{x}S(x)}.
Étudier la dérivabilité de {F} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
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Déterminer {\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)}.
En déduire {F(x)}, puis {S(x)}.
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Donner la primitive {U} de {S} s’annulant en {0}.
Montrer que {S} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
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