Soit la série {\displaystyle\sum\limits f_n}, où : {\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\forall\, x\in \mathbb{R}^+,f_n\left(x\right)=\dfrac{\text{e}^{-nx}}{(n+x)^2}}.
-
Étudier la convergence de cette série sur {\mathbb{R}^+}.
-
Montrer que sa somme {S} est continue.
- Prouver que {S} est décroissante et positive.
- Préciser {S(0)}. Montrer que {\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)=0}.
-
Etablir que {S} est de classe {{\mathcal C}^1} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
- Prouver que {S} est convexe sur {\mathbb{R}^+}.
- Montrer que {S} n’est pas dérivable en {0}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :