Séries de fonctions trigonométriques

Soit la série de fonctions {\displaystyle\sum\limits f_n}, définie par : {\forall\, n\in \mathbb{N},\;\forall\, x\in[0,\pi],\;f_n(x)=\sin x\,\cos^nx}

  1. Montrer que la série {\displaystyle\sum\limits f_n} converge simplement sur {[0,\pi]}.
  2. Justifier rapidement pourquoi la convergence n’est pas uniforme sur {[0,\pi]}.
  3. Prouver qu’il y a convergence normale sur {[a,\pi-a]}, avec {0\lt a\lt\dfrac\pi2}.
  4. Calculer le reste R_N d’indice {N} de {\displaystyle\sum\limits f_n}.
    Montrer que la suite (R_N) ne converge pas uniformément sur {]0,\pi]}.
  5. Montrer qu’il y a CVU (mais pasCVN) sur {[a,\pi]}, avec {0\lt a\lt \pi}.

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