(Oral Centrale Mp)
Pour {n\in\mathbb{N}^*}, soit {Q_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}.
On note {S_{n}=\dfrac{Q_{n}'}{Q_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k^2}}.
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Si {n>k\ge0}, montrer que {Q'_{n}} a une unique racine {\mu_{n,k}\!\in\! J_k=\,]k^2,(k\!+\!1)^2[}.
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Prouver que {(\mu_{n,k})_{n>k}} décroît strictement. On note {\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\mu_{n,k}}.
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On définit {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{x-k^2}}.
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Montrer que {S} est {\mathscr{C}^{\infty}} sur son domaine.
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Pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer que {S} s’annule en un unique {\alpha_{k}\in J_k},
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On fixe {k} dans {\mathbb{N}}. {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}S(\mu_{n,k})=0}.
En déduire {\ell_{k}=\alpha_{k}}.
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