Série de fonctions et intégrales

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} et {t\in\mathbb{R}}, on pose :{f_{n}(t)=\dfrac1{n!}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(t\!-\!k)=\dfrac{t(t-1)\cdots(t-n+1)}{n!}}On convient que {f_{0}(t)=1}. On note {a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}\!f_{n}(t)\text{d}t}.

Pour {k\ge2}, et {0\le t\le 1}, on pose :{u_{k}(t)=\ln\Bigl(1-\dfrac{t}{k}\Bigr)-t\hskip1pt\ln\Bigl(1-\dfrac1{k}\Bigr)}Pour {n\ge1} et {0\le t\lt 1}, on pose :{h_{n}(t)=\ln(1-t)+\displaystyle\sum_{k=2}^{n}u_{k}(t)}en particulier {h_{1}(t)=\ln(1-t)}).

Question 1.a
Pour {\begin{cases}k\ge2\\0\le t\le 1\end{cases}}, montrer : {0\le u_{k}(t)\le \dfrac{2t(1-t)}{k^{2}}}
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Question 1.b
Pour {t\in[0,1[}, on pose {\theta(t)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\text{e}^{h_{n}(t)}}.
Montrer que l’application {\theta} est prolongeable en une application continue sur {[0,1]}.
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Question 1.c
Pour {n\ge1} et {0\le t\lt 1}, vérifier l’encadrement :{\theta(t)\,\text{e}^{-1/(2n)}\le \text{e}^{h_{n}(t)}\le \theta(t)}
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Question 2.a
Remarquer que, pour tout {n\ge1}, on a : {(n+1)\left|a_{n+1}\right|=\displaystyle\int_{0}^{1}t\,\text{e}^{-t\ln n}\,\text{e}^{h_{n}(t)}\,\text{d}t}
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Question 2.b
On pose {b_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}t\,\text{e}^{-t\ln n}\,\theta(t)\,\text{d}t}.
Montrer que {b_{n}\sim \dfrac{1}{\ln^{2}(n)}} quand {n\to\infty}.
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Question 2.c
En déduire un équivalent de {a_{n}} quand {n\to\infty}.
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