Une série de fonctions

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {\varphi(u)=u \dfrac{1-u^2}{1+u^2}} pour {u \in \mathbb{R}}.

On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x^n)}.

Question 1
Quel est le domaine {D} de définition de {f}?
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Question 2
Étudier la continuité de {f} à l’intérieur du domaine {D}.
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Question 3
On pose {\psi(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.
Donner un équivalent de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \psi(nu)} quand {u\to 0^+}.
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Question 4
Exprimer {f} à l’aide de {g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^{2^n}}}.
En déduire un équivalent de {f} en {1}.
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