Exercice (oral Centrale/Supélec)
Soit {\varphi(u)=u \dfrac{1-u^2}{1+u^2}} pour {u \in \mathbb{R}}.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi(x^n)}.
| Question 1 Quel est le domaine {D} de définition de {f}? |
| Question 2 Étudier la continuité de {f} à l’intérieur du domaine {D}. |
| Question 3 On pose {\psi(x)=\dfrac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}}. Donner un équivalent de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \psi(nu)} quand {u\to 0^+}. |
| Question 4 Exprimer {f} à l’aide de {g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^n}{1+x^{2^n}}}. En déduire un équivalent de {f} en {1}. |