Centrale
Exercices corrigés donnés au concours « Centrale »

Matrices avec vecteur propre donné

(Oral Centrale 2018)
Soit

{x\in\mathbb{R}^{n}}

non nul, et

{E_{x}}

l’ensemble des matrices de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

admettant

{x}

comme vecteur propre.
Montrer que

{E_{x}}

est un espace vectoriel, préciser sa dimension.

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Avec ou sans polynôme caractéristique?

(Oral Centrale 2018)
Diagonalisabilité dans

{\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}

{A=\begin{pmatrix}\lambda & -a & 0 \\ -\alpha & \mu & -b \\ 0 & -\beta & \nu\end{pmatrix}}

où

{\begin{cases}a\alpha >0\\b\beta >0\end{cases}}

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Équation matricielle AM+MA=B

(Oral Centrale Mp)
Équation matricielle AM+MA=B, avec A,B symétriques définies positives.

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Développement d’Euler de cotan(π x)

((Oral Centrale Mp)
Développement d’Euler de cotan(π x) en série de fonctions.

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Suites polynomiales d’entiers

(Oral Centrale Mp)
Caractérisation des « suites polynomiales d’entiers »

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Convergence cubique d’un produit infini

(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini

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Test de Lucas-Lehmer

(Oral Centrale Mp)
Condition suffisante du test de Lucas-Lehmer.

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Étude de int(arctan(x tan(t)), t=0..π/2)

(Oral Centrale Mp)
Étude de l’intégrale à paramètre

{f(x)=\displaystyle{\int_0^{\pi/2}\!\!\!\arctan(x \tan (t))\,\text{d}t}}

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Polynômes stables

(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables

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Intégrabilité de 1/(1+e^t |sin t|) sur ℝ⁺

(Oral Centrale Mp)
Intégrabilité de

{\dfrac{1}{1+\text{e}^t|\sin t|}}

sur

{\mathbb{R}^+}

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Algèbre de matrices diagonalisables

(Oral Centrale Mp)
Toute sous-algèbre d’endomorphismes tous diagonalisables est commutative.

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Une équation différentielle

(Oral Centrale Mp)
On étudie une solution particulière de

{(1-x)^3y''(x)=y(x)}

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Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

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Dérivée n-ième de f(x)=1/(1+e^x)

(Oral Centrale Mp)
Expression de la dérivée

{n}

-ième de

{f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^x}}

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Matrices semblables par blocs

(Oral Centrale Mp)
Conditions équivalentes pour que des matrices par blocs soient semblables.

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Une suite récurrente paramétrée

(Oral Centrale)
Pour

{x\gt0}

, on étudie la suite définie par

{u_0=x }

{u_{n+1}=u_n+u_n^2}

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (3/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(3/3)

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (2/3)

(Oral Centrale Mp)

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(2/3)

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J(x) = int(1-x cosθ, θ=0..π/2) (1/3)

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{J(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\ln(1-x\cos \,\theta)\,\text{d}\,\theta}

(1/3)

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Encadrements de valeurs propres

(Oral Centrale Mp)
Encadrement de valeurs propres non nulles de matrices à coefficients entiers.

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Convergence d’une suite de fonctions

(Oral Centrale Mp)
Convergence simple de la suite des fonctions

{x\mapsto f_{n}(x)=\text{e}^{-nx}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(nx)^k}{k!}}

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Puissances et racines de matrices

(Oral Centrale Mp)
Pour

{A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, calcul de

{A^n,\,n\in\mathbb{Z}}

{A^{1/n}}

, de

{\exp(A)}

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Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.

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Urne de moins en moins bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant le coté monocolore).

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Urne de plus en plus bicolore

(Oral Centrale Mp)
Évolution de la composition d’une urne bicolore (avec un protocole favorisant l’équilibre des couleurs).

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La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin

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Résolution d’un système tridiagonal

(Oral Centrale Mp)
Résolution itérative d’un système linéaire tridiagonal

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Longueur approchée d’une ellipse

(Oral Centrale)
Approximation de l’intégrale donnant la longueur d’une ellipse.

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Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

(Exercice d’oral Centrale Mp)
Étude d’un endomorphisme symétrique de ℝn[X].

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Une intégrale qui résiste

(Oral Centrale)
Calcul de l’intégrale

{J=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{\ln(x)\ln^2(1-x)}{x}\,\text{d}x}

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Méthode du gradient à pas constant

(Oral Centrale Mp)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

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Somme des inverses des « k parmi n »

(Oral Centrale Mp)
Étude de la somme des inverses des

{\dbinom{n}{k}}

, pour

{0\le k\le n}

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Accélération de convergence (Aitken)

(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)

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Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)^n+a

(oral Centrale Mp)
Pour tout réel

{a}

, on sait que la suite

{n \mapsto (1+1/n)^{n+a}}

tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre

{a}

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Un algorithme de Lehmer

(Centrale Mp) Un algorithme de Lehmer de décomposition de arctan(a/b).

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Réduction d’une matrice en ᒧ

(Oral Centrale Mp)
Réduction d’une matrice en ᒧ

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Approximants de Padé de exp(x)

(Oral Centrale Mp)
Approximants de Padé de exp(x)

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Déterminant et polynômes

(Oral Centrale Mp)
Soit

n\in\mathbb{N}

, et

{P_{n,j}(x)=(1-x)^{j}(1+x)^{n-j}=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{n,i,j}x^{i}}

pour

0\le j\le n

.
On étudie la matrice des coefficients

a_{n,i,j}

et on calcule son déterminant.

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Suite presque toujours périodique

(oral Centrale Mp)
Pour

a\gt 1

, on étudie la suite

{u_1=2}

{u_{n+1}=2-a/u_{n}}

, à valeurs dans

{\mathbb{R}\cup\{\infty\}}

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Un produit scalaire entre polynômes

(Oral Centrale Mp)
Étude de

{\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}

, où

{c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Racines du polynôme dérivé (bis)

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k^2)}

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Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}

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Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

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Dans une quartique, le nombre d’or

(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.

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Déterminant de la matrice des ppcm(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice M des ppcm(i,j). Décomposition puis déterminant de M.

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Déterminant de la matrice des pgcd(i,j)

(Oral Centrale Mp)
La matrice

G_n

des pgcd(i,j). Théorème de Smith. Décomposition de

G_n

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Étude d’une hélice

(Oral Centrale)
Étudier l’arc paramétré défini par :

x(t)=(1\!+\!\cos t)\cos(t)

\;y(t)=(1\!+\!\cos t)\sin (t)

\;z(t)=4\sin(t/2)

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Équation différentielle y⁽³⁾-y = e^pt

(Oral Centrale )
Résoudre :

{f^{(3)}(t)-f(t)=e^{pt}}

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Intégrales de Wallis hyperboliques

(Oral Centrale)
On étudie

{I_{n}=\displaystyle\int_{0}^{\alpha}\,\text{sh}^n(t)\,\text{d}t}

où

\text{sh}(\alpha)=1

(calcul approché avec Python, relation de récurrence, limite, équivalent, séries…)

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