Opérateur Δ sur les polynômes
(Oral Centrale). À l’aide de l’opérateur {\Delta} sur les polynômes, on étudie les séries entières de la forme {\sum P(n)x^n}, où {P} est un polynôme donné.
Centrale
Polynômes scindés simples
(Oral Centrale). On détermine des conditions nécessaires pour qu’un polynôme à coefficients réels soit scindé simple.
Composition de polynômes
(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.
Diagonalisation d’une matrice en Z
(Oral Centrale)
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Soit {Z_n\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, définie par :{\begin{cases}z_{ij}=1\text{\ si\ }(i\!=\!1\;\text{ou}\;i\!=\!n\;\text{ou}\;i\!+\!j=n\!+\!1)\\0\text{\ sinon}\end{cases}}Prouver que {Z_n} est diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}
Procéder à la diagonalisation efffective de {Z_n}.
Donner l’exemple de {n=5} et {n=6}.
Le centre d’appels téléphoniques
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Un centre d’appel doit contacter {n} clients.
Chacun décroche avec une probabilité {p\in ]0,1[}.
Dans une 1ère vague d’appels, {X_{1}} clients décrochent.
Soit {X_{2}} le nombre de clients qui ne décrochent qu’à la deuxième vague, etc.
{X_{1},X_{2}} sont-elles indépendantes ? Quelle est la loi de {X_k}?
Quelle est la loi du numéro {Y_{i}} de la vague d’appels à laquelle le i-ème client décroche enfin?
Suites harmoniques et logarithme
(Oral Centrale)
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Deux séries de même nature
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^\mathbb{N}} telle que {u_n\rightarrow 0}.
Soit {(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} tel que {a+b+c\ne 0}.
On pose {v_n=au_n+bu_{n+1}+cu_{n+2}}
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge0}v_n} sont de même nature.
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
Soit {(u_n)_{n\geq 1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {v_n=\dfrac{u_n}{S_{n}}} où {S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_k}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}u_n} et {\displaystyle\sum_{n\ge1}v_n} ont même nature.
La série des j^n/n
Série et sommes partielles
(Oral Centrale)
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
Soit {\left(u_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}, et {\alpha\gt0}.
On suppose que {n\mapsto S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}} diverge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge}\dfrac{u_{n}}{S_{n}^{\alpha}}} converge {\Leftrightarrow\alpha >1}.
On suppose {\displaystyle\lim_{\infty}S_{n}=S\gt0}. Soit {R_{n}=S-S_{n}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{u_{n}}{R_{n}^{\alpha-1}}} converge {\Leftrightarrow \alpha \lt 1}.
Stabilité de la loi binomiale
(Oral Centrale)
Soient {Y,Z} indépendantes à valeurs dans {\mathbb{N}}, et non constantes.
On suppose {U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}.
Montrer que {Y,Z} suivent des lois binomiales.
Soient {Y,Z} indépendantes à valeurs dans {\mathbb{N}}, et non constantes.
On suppose {U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}.
Montrer que {Y,Z} suivent des lois binomiales.
Fonction Ck à dérivées nulles en 0
(Oral Centrale)
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Soit {f\in\mathcal{C}^3(\mathbb{R})} avec {f(0)=f^{\prime }(0)=0}.
Montrer : {\forall\,x\ne0,\;f(x)=x\displaystyle\int_{0}^{1}f^{\prime }(ux)du.}
Montrer : {\exists\,g\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Montrer : {\exists\,h\in C^{1}(\mathbb{R}),\;\forall\,x\in \mathbb{R},\;f(x)=xg(x)}.
Encore une intégrale à paramètre
(Oral Centrale)
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.
On pose {I(x)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^x \ln(t)}{t-1}\,\text{d}t}.
- Déterminer le dommaine {D} de la fonction {I}.
- Montrer que {I} est {\mathcal C^1} sur {D}.
- Calculer pour {I(x+1)-I(x)} pour {x\in D}.
- Déterminer la limite de {I} en {+\infty}.
- Donner un équivalent de {I} en {-1} et en {+\infty}
Étude au bord du disque de convergence
(Oral Centrale)
Soit {(a_{n})} une suite réelle telle que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}.
Montrer que le rayon de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} est {R\ge1}.
Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))} quand {x\rightarrow 1^{-}}
Soit {(a_{n})} une suite réelle telle que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}.
Montrer que le rayon de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} est {R\ge1}.
Montrer que {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))} quand {x\rightarrow 1^{-}}
Séries entières et intégrales
(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Soit {R>0} le rayon de convergence de {S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
Pour {r\in \lbrack 0,R[}, on montre que :{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}On voit deux méthodes très différentes.
Convergence d’une suite d’intégrales
(Oral Centrale)
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Sous certaines hypothèses sur la suite {(g_n)}, et pour {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {[0,1]}, on calcule {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}f(x)g_{n}(x)dx}.
Série des f(n) avec hypothèse sur f’/f
(Oral Centrale)
Soit {f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}, avec {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}.
On demande d’étudier la série {\displaystyle\sum f(n)}.
Soit {f\in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}^{+},\;\mathbb{R}_{+}^{\ast})}, avec {\displaystyle\lim_{+\infty}\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ell}.
On demande d’étudier la série {\displaystyle\sum f(n)}.
Une suite/série implicite
(Oral Centrale)
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.
Montrer que : {\forall\,n\in \mathbb{N},\;\exists!\,a_{n}\in\mathbb{R},\;e^{a_{n}}+na_{n}=2}
Déterminer la nature des séries {\displaystyle\sum a_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}a_{n}}.
Déterminer la limite de {n(1-na_{n})} en {+\infty}.
Développer {a_n} à la précision {o\left(\dfrac{1}{n^3}\right)}.
Un critère de diagonalisabilité
Oral Centrale
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f} un
endomorphisme de {E}. Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de {E} possède un supplémentaire stable par {f}.
Une forme linéaire sur Rn[X]
(Oral Centrale)
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Soit {L} la forme linéaire définie sur {E=\mathbb{R}_{n}[X]} par :{\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\displaystyle\int_{-1}^{1}P(x)dx}On se donne {-1\leq x_{0}\lt ...\lt x_{n}\leq 1}.
Montrer qu’il existe {(\lambda _{0},\ldots\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n+1}} tel que : {\forall P\in E,\;L(P)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\lambda _{k}P(x_{k})}
Sous-espace de matrices de rang borné
(Oral Centrale)
Soit {\mathcal{V}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} contenant {\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}.
On suppose : {\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}.
Montrer que {\dim \mathcal{V}\leq nr}.
Soit {\mathcal{V}} un sous-espace de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} contenant {\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}.
On suppose : {\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}.
Montrer que {\dim \mathcal{V}\leq nr}.
Cayley-Hamilton et matrice compagnon
(Oral Centrale)
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).
Dans cet exercice, on observe directement que la matrice-compagnon d’un polynôme P est annulée par P (c’est un cas particulier du théorème de Cayley-Hamilton).
Connaissant AB, calculer BA
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Équivalence d’équivalents
(oral Centrale)
Pour toute suite réelle {(u_{n})}, on étudie la propriété (P) suivante : {u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}
Pour toute suite réelle {(u_{n})}, on étudie la propriété (P) suivante : {u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}
Fonctions additives bornées à l’origine
(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.
Polynômes scindés simples (ou pas)
(Oral Centrale)
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Opérateur Delta sur les polynômes
(Oral Centrale)
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Sur {\mathbb{R}_{n}[X]}, avec {n\ge1}, on pose {\Delta(P(X))=P(X+1)-P(X)}Montrer que {\Delta} est nilpotent. En déduire : {\forall\, P\in\mathbb{R}_{n-1}[X],\;\displaystyle\displaystyle\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j} P(X\!+\!j)=0}
Orthogonal non supplémentaire
Oral Centrale
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
Limite de fonctions inverses
(Oral Centrale 2018)
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
On pose : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;A_{n}:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}}.
Montrer que : {\forall\,y\in\mathbb{R}^{+},\;\exists\,!\,x\in\mathbb{R}^{+},\;A_{n}(x)=y}.
On note {x=f_{n}(y)}. Tracer des fonctions {f_n}.
Montrer que la suite {(f_n)_{n\ge1}} converge simplement sur {\mathbb{R}^+} vers {f\colon x\mapsto1-\text{e}^{-x}}.
Suite récurrente et série génératrice
(Oral Centrale 2018)
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.
Soit {(u_{n})} une suite telle que : {\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}.
Montrer : {\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}.
Trouver le rayon {R} et la somme {S} de {\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}.