Autour du produit de Kronecker
Oral Centrale) On rappelle la définition du produit de Kronecker {A\otimes B} de deux matrices, et on étudie l’existence d’une solution {M} à l’équation {AM = q MA}.
Concours Centrale
Décomposition en somme de carrés
(Oral Centrale) Soit {G} l’ensemble des éléments de {\mathbb{K}} qui peuvent s’écrire comme une somme de {2^n} éléments de {\mathbb{K}}. Par une récurrence matricielle, on montre que {G} est un sous-groupe de {\mathbb{K}^*}.
Identité matricielle AXB = BXA
(Oral Centrale). Dans {E=\mathcal{M}_n(\mathbb{K}K)}, on se donne {A,B } telles que {AXB=BXA} pour tout {X} de {E}. L’objectif de l’exercices est de montrer que {A} et {B} sont liées.
Équation au crochet de Lie
(Oral Centrale) On définit le crochet de Lie dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} par {[A,B]=AB-BA}. On détermine les matrices {A} telles qu’on ait toujours {[A,[A,[A,T]] = [A,T]}.
Déterminants et polynômes
(Oral Centrale). Soit {\Delta} le déterminant d’ordre {m} de terme général {P(j-i)}, où {P} est un polynôme unitaire de degré {n}. On calcule {\Delta} selon la valeur de {m}.
Sous-espaces de matrices inversibles
(Oral Centrale) On considère des sous-espaces de {\mathcal{M}_n(\mathbb{K})} dont toutes les matrices non nulles sont inversibles. On étudie la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Sous-espaces de matrices nilpotentes
(Oral Centrale) On s’intéresse ici à des sous-espaces de matrices carrées d’ordre {n} toutes nilpotentes, et à la dimension maximale d’un tel sous-espace.
Points entiers sur une hyperbole
(Oral Centrale). On se propose de déterminer tous les points à coordonnées entières sur l’hyperbole d’équation {x^2-3y^2=1}. On procède pour cela par itération matricielle à partir de la solution évidente {(1,0)}.
Matrices semblables par blocs
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie des conditions équivalentes pour que les matrices par blocs {((A,0),(0,0)) } et {((A,B),(0,0))} soient semblables.
Matrices semblables de rang 1 ou 2
(Oral Centrale) On s’intéresse à deux endomorphismes {u,v} de {E}, de même rang 1 ou 2. On étudie des conditions suffisantes pour que{u,v} soient semblables.
Matrices semblables à leur inverse
(Oral Centrale) On étudie des conditions pour que des matrices inversibles, de taille 2 ou 3, soient semblables à leur inverse.
Matrices extrémales à coeffs dans [-1,1]
(Oral Centrale) Parmi les matrices carrées {A} de taille n telles que {|a_{i,j}|\le1}, on s’intéresse aux matrices dites extrémales, c’est-à-dire qui maximisent {|\det(A)|}. On voit comment former de telles matrices pour certaines valeurs de {n}.
Groupes d’endomorphismes de même rang
(Oral Centrale). On considère un sous-groupe quelconque de {\mathcal{L}(E)}, où {E} est un {\mathbb{K}}-espace de dimension finie. On vérifie que ses éléments ont le même rang. On étudie le cas particulier du groupe des permutations des vecteurs d’une base de {E}.
Un groupe de matrices non inversibles
(Oral Centrale). On définit un sous-ensemble {G} de l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3. On vérifie que {G} est un groupe pour le produit des matrices, mais que les matrices de {G} ne sont pas inversibles (au sens habituel) pour le produit.
Algorithme de Babylone matriciel
Oral Centrale) À partir d’une matrice carrée, on étudie la suite des itérées par la transformation {A\to(A+A^{-1})/2} (généralisation matricielle de l’algorithme de Babylone)
Inégalités à la Tchebychev
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on établit un encadrement du nombre d’entiers premiers inférieurs ou égaux à un entier n donné.
Égalités de coefficients binomiaux
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on résout certains cas de répétitions de coefficients binomiaux dans le triangle de Pascal.
Suite de Fibonacci modulo 41
(Oral Centrale) Dans cet exercice d’arithmétique, on montre entre autres choses que, modulo 41, la suite de Fibonacci est périodique de période 40.
Facteurs premiers des an-1
(Oral Centrale) On montre que si {a-1} et {a^n-1} ont les mêmes facteurs premiers, alors {n=2} et {a} est un nombre de Mersenne (et la réciproque est vraie).
Autour des polynômes de Bernoulli
(Oral Centrale) On définit la suite des polynômes de Bernoulli par itération d’un endomorphisme continu de {\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme infinie.