Concours Centrale
Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral du concours de l’École Centrale (classes de Spé Mp, Pc, Psi)

Développement en série entière

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}

➡️

Matrices de trace nulle (bis!)

(Oral Centrale)
Soit

{M}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, avec

{n\ge1}

, telle que

{\text{tr}(M)=0}

.
Montrer qu’il existe

{P\in O(n)}

telle que

{P^{\top}MP}

soit de diagonale nulle.

➡️

Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

➡️

Le coefficient trinomial central

(oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2+X+1)^n}

.
Trouver une relation de récurrence entre les

{a_n}

➡️

Somme de projecteurs orthogonaux

(Oral Centrale)
Soient

{p}

{q}

deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien

{E}

.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de

{u = p + q}

est scindé.
2. Montrer que

{\text{Sp}(u)\subset[0,2]}

.
3. Déterminer

{\text{Ker}(u)}

{\text{Ker}(u - 2\text{Id})}

➡️

Polynômes positifs sur IR+

(oral Centrale)
Soit

{P\in\mathbb{R} [X]}

. Montrer que

{(a)\Leftrightarrow(b)}

:
(a)

{\forall x\in\mathbb{R}^{+},\;P(x)\ge 0}

(b)

{\exists(A,B)\in\mathbb{R}[X]^{2},\;P(X)=A^{2}+XB^{2}}

➡️

Base de matrices de rang p

(Oral Centrale)
Soient

{n\in\,\mathbb{N}^*}

{p\in\{1,\ldots ,n\}}

. L’objectif de l’exercice est de montrer qu’il existe une base de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

formée de matrices de rang

{p}

➡️

Égalité AC=CB avec C de rang r

(Oral Centrale)
Soient

A, B,C\in\, \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})

avec

AC=CB

soit

r=\text{rg}(C)

. Montrer que

A,B

ont au moins

r

valeurs propres en commun (comptées avec leur ordre de multiplicité).

➡️