Centrale
Exercices corrigés donnés au concours « Centrale »

Quand le nombre d’urnes est infini

(Oral Centrale)
Pour

{k\in [[1,p]]}

, l’urne numéro

{k}

contient

{k}

boules noires et

{p-k}

boules blanches.
On choisit au hasard une urne puis on y tire

{2n}

boules avec remise. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu

{n}

boules noires? Quelle est sa limite quand

p\to+\infty

➡️

Équation différentielle y″=(1+x⁴)y

(Oral Centrale)
On trouve une base du plan des solutions de

{(\star):\; y''=(1+x^{4})y}

, connaissant la solution, notée

f

, telle que

{f(0)=f'(0)=1}

➡️

Vidages d’urnes bicolores

(Oral Centrale)
Une urne contient

{b}

boules blanches et

{n-b}

rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note

{C}

le nombre de changements de couleur. Calculer

{E(C)}

{V(C)}

➡️

Étude d’un temps d’attente

(Oral Centrale)
Soit

{(X_{i})_{i\in \mathbb{N}^{\ast}}}

des v.a.r. indépendantes de même loi :

{\mathbb{P}(X_{i}=1)=p}

;

{\mathbb{P}(X_{i}=2)=1\!-\!p}

.
Soit

Y_k

le temps d’attente de

X_1+\cdots+X_n\ge k

.
On étudie la loi de

Y_k

et son espérance.

➡️

Deux premiers succès consécutifs

(Oral Centrale)
Dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

{p}

, on note

p_n

la probabilité d’obtenir à la date

n

, et pour la première fois, deux succès à la suite.
Donner une relation entre

{p_{n+3}}

{p_{n+2}}

{p_{n+1}}

{p_{n}}

➡️

Majoration de valeurs propres

(Oral Centrale)
Soit

{M\!\in\! \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

de pol. caractéristique

{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}}

Montrer que :

{\forall \lambda \in \text{Sp}(M),\;|\lambda |\leq\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|}

➡️

Diagonalisabilité d’une matrice 4×4

(Oral Centrale)
Diagonalisabilité de

{\begin{pmatrix}a & -b & -c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{pmatrix}}

où

{bcd\neq 0}

➡️

Indépendance de formes linéaires

(Oral Centrale)
Soit

{(f_{1},\ldots ,f_{p})}

des formes linéaires sur

{E}

, avec

\dim(E)=p

. Montrer

i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii)

i)

la famille

{(f_{1},\ldots,f_{p})}

est libre;

ii)

{\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))}

est surjective;

iii)

{\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}

{\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}

➡️

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

Un endomorphisme symétrique de ℝ_n[X]

On munit

{\mathbb{R}_{n}[X]}

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Étudier l’endomorphisme

{P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}

➡️

Déplacements dans Z²

(Oral Centrale)
Un module, initialement en

{(0,0)}

, se déplace dans

{\mathbb{Z}^2}

dans l’une des directions (N,S,E,O) de manière équiprobable. On note

{A_{n}=(X_{n},Y_n)}

sa position à l’instant

{n}

, et

{Z_{n}}

sa distance à l’origine.
Donner

{\text{E}(X_{n})}

{\text{V}(X_{n})}

. Montrer que

{\text{E}(Z_{n})\leq \sqrt{n}}

, et calculer

{\mathbb{P}(Z_{n}=0)}

➡️

Un endomorphisme de matrices

(Oral Centrale)
Soient

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

, et

\varphi

défini par :

{\forall\, M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

{\varphi(M)=AM-MB}

.
Montrer que si

{\alpha\in\text{Sp}(A)}

{\beta\in\text{Sp}(B)}

, alors

{\alpha -\beta\in\text{Sp}(\varphi)}

.
Si

{\varphi(M)=\lambda M}

, montrer que :

{\forall\, P\in \mathbb{R}[X],\;P(A)M=MP(\lambda I_{n}+B)}

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️

Un endomorphisme de polynômes

(Oral Centrale)
Étude de l’endomorphisme de

{\mathbb{R}_n[X]}

défini par

{f(P)\!=\!(X\!-\!a)(X\!-\!b)P^{\prime}\!-\!nXP}

➡️

Valeur propre commune

(Oral Tpe, Ensam, Mines-Ponts et Centrale)
Montrer que deux matrices

{A,B}

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe

{U\ne0}

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

telle que

{AU = UB}

➡️

Suites C-convergentes

(oral Centrale)
Une suite

{(u_{n})}

est dite C-convergente si

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}

.
Donner un exemple de suite

{C}

-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers

{0}

est

{C}

-convergente.
Soit

{\alpha\in\,]0, 1[}

. Montrer que la suite

{n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}}

est

{C}

-convergente.

➡️

Série de fonctions, série entière

(Oral Ccp et Centrale)
Soit

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}

, avec

|a|\lt1

.
On montre que

{f}

est

{C^{\infty}}

, puis qu’elle est développable en série entière sur

\mathbb{R}

➡️

Équation fonctionnelle et série

(Oral Centrale)
Trouver les

{f\in{\mathcal C}^{0}([0,1],\mathbb{R})}

telles que :

{\forall\, x\in [0,1], f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{f(x^{n})}{2^{n}}}

➡️

Nature d’une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum a_{n}}

, où

{a_{0}>0}

{a_{n+1}=\ln(1\!+\!a_{n})}

➡️

Somme d’une série alternée

(Oral Centrale)
Convergence et somme de

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\ln\Bigl(1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}

➡️

Convergence d’une série alternée

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n!}}}

➡️

Diagonalisation et série numérique

(Oral Centrale)
Nature de

{\displaystyle\sum\sin(\pi\,a^{n})}

, où

a

est la valeur propre réelle de

{A={\small\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}

➡️

Si AB=BA et B nilpotente, alors…

(Oral Centrale)
Soit

{A,B\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}

, avec

{B}

nilpotente et

{AB=BA}

. Montrer l’équivalence :
(

{A}

inversible)

{\Leftrightarrow}

(

{A+B}

inversible).

➡️

Existence d’un supplémentaire commun

(Oral Centrale & Ccp)
Montrer que deux sous-espaces d’un espace

E

de dimension finie ont la même dimension si et seulement si ils admettent un supplémentaire commun.

➡️

Une somme de série de fonctions

(Oral Centrale)
Domaine et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}(-1)^n\dfrac{\cos^3(3^nx)}{3^n}}

➡️

Matrices nilpotentes de même rang

(Oral Centrale)
Soient

{A,B\in {\mathcal M}_n(\mathbb{R})}

, de même rang, telles que

{A^k=B^k=0}

. Si

k=2

, montrer que

A,B

sont semblables. Et si

k=3

➡️

Une série de fonctions

(Oral Centrale, Mines-Ponts, et Ccp)
Domaine de

{S(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1+e^{-nt})}

, variations, et limite en

{+\infty}

➡️

Série entière et coefficients binomiaux

(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que

{4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}

➡️

Série de fonctions, télescopique

(Oral Centrale)
Domaine et expression de

{f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}}

➡️

Caractérisation de tr(A)=0

(oral Centrale)
Soit

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

. Montrer :

{\text{tr}(A)=0\Leftrightarrow \exists\, U,V\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\;A=UV-VU}

➡️

Le commutant de GLn(ℂ)

(Oral Centrale)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

telles que :

{\forall M\in\text{G}L_n(\mathbb{C}),\;AM=MA\}}

➡️

Calcul de déterminant en Python

(Oral Centrale)
Soit

{A_n=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}}

avec

{a_{i,j}=(-1)^{\max(i,j)}}

. Calculer

{\det(A_n)}

➡️

Une base de Cn[X]

(Oral Centrale)
On définit les polynômes

{P_k=(X-a)^k (X-b)^{n-k}}

, où

{a\ne b,\; 0\le k\le n}

.
Montrer qu’ils forment une base de

{\mathbb{C}_n[X]}

➡️

Dérivabilité dun produit infini

(Oral Centrale)
Montrer que

{G(x)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)e^{-{x}/{n}}}

est de classe

{{\mathcal C}^\infty}

sur

{\mathbb{R}^+}

➡️

Suite des itérées d’une fonction

(Oral Centrale)
Convergence sur

[0,1]

de la suite des itérées de

{\varphi\,\colon x\mapsto 2x (1-x)}

➡️

Diagonalisation par blocs

(Oral Centrale)
Soient

{A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{C})}

{B=\begin{pmatrix}0&2A\\-A&3A\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_{2n}(\mathbb{C})}

.
Montrer que

B

est diagonalisable si et seulement si

A

est diagonalisable.

➡️

Matrice inversible? diagonalisable?

(Oral Centrale)
On étudie l’inversibilité et la diagonalisabilité d’une matrice carrée d’ordre

4

➡️

Deux sommes directes

(Oral Centrale)
Soient

{f,g\in\mathcal{L}(E)}

, avec

\dim(E)\lt+\infty

{E=\text{Im} f+\text{Im} g=\text{Ker} f+\text{Ker} g}

.
Montrer que les deux sommes sont directes.

➡️

Le cousin de Vandermonde

(Oral Centrale)
Soit

{(a,b,c,d)\in\mathbb{K}^4}

. Calculer le déterminant

{\begin{vmatrix}1&a&a^2&a^4\\1&b&b^2&b^4\\1&c&c^2&c^4\\1&d&d^2&d^4\end{vmatrix}}

➡️

Une forme linéaire sur IR[X]

(Oral Centrale)
Étude de la forme linéaire

S

définie sur

{\mathbb{R}[X]}

par

{S(P) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P(k)}{k!}}

➡️

Moyenne de permutations

(Oral Centrale)
Soit

{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n})}

la base canonique de

{\mathbb{R}^{n}}

, et

S_n

l’ensemble des permutations de

[[1,n]]

.
Pour

{\sigma\in S_{n}}

soit

{f_{s}\in{\mathcal L}(\mathbb{R}^{n})}

définie par

{\forall i\in[[1,n]],\;f_{s}(e_{i})=e_{s(i)}}

.
Identifier

{p_{n}= \dfrac{1}{n!}\displaystyle\sum_{s\in S_{n}}f_{s}}

➡️

Réduction simultanée

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel de dimension finie, et

{f,g\in{\mathcal L}(E)}

tels que

{\begin{cases}f^{2}=g^{2}=\text{Id}_{E}\\fg+gf = 0\end{cases}}

On cherche une base où les matrices de

f

g

sont très simples.

➡️

Une série numérique

(Oral Centrale)
Nature de la série

{\displaystyle\sum\sin\big(\pi(1+\sqrt2)^{n}\big)}

➡️

Comparaison de rayons de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}

➡️

Réduction d’endomorphisme matriciel

(Oral Centrale)
Soit

A

dans

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

. On étudie la diagonalisabilité, la trace, et le déterminant de l’endomorphisme

\varphi

{{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})}

défini par

{\varphi(M)=M + \text{tr}(AM)A^\top}

➡️

Itérées d’une transformation du plan

(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit

{\Phi}

l’application qui envoie le point

{M = (a,b)}

sur le projeté orthogonal de

{M}

sur la droite

{(QP)}

avec

{P = (a,0)}

{Q = (0, b)}

. Pour tout point

M_0

du plan, on étudie la suite définie par

{M_{n+1}=\Phi(M_{n})}

➡️

Une symétrie orthogonale

(Oral Centrale)
Soit

{F\subset\mathbb{R}^{4}}

d’équations

{\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}

Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à

{F}

➡️

Somme d’une série de fonctions

(Oral Centrale)
Étude de la série de fonctions

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

➡️

Une somme de série entière

(Oral Centrale)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}}

➡️

Matrices à diagonale propre

(Oral Centrale)
On dit que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

vérifie

{(\mathcal{P})}

si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété

{(\mathcal{P})}

soit vérifiée.

➡️